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和平区2022-2023学年度第二学期高三年级第一次质量调查
数学学科试卷
温馨提示:本试卷包括第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,共150分.
考试时间120分钟.祝同学们考试顺利!
第Ⅰ卷(选择题共45分)注意事项:
1.答第I卷前,考生务必将自己的姓名?准考号?科目涂写在答题卡上.
2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用,橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效.
3.本卷共9小题,每小题5分,共45分.
参考公式:
球的体积公式,其中表示球的半径.
如果事件互斥,那么.
如果事件相互独立,那么,
任意两个事件与,若,则.
一?选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知全集,则中元素个数为()
A.3个B.4个C.5个D.6个
2.已知是实数,则“”是“”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3.函数的图象是()
A.B.
C.D.
4.某城市在创建文明城市的活动中,为了解居民对“创建文明城市”的满意程度,组织居民给活动打分(分数为整数,满分100分),从中随机抽取一个容量为100的样本,发现数据均在[40,100]内.现将这些分数分成6组并画出样本的频率分布直方图,但不小心污损,使部分图形缺失,如图,部分图形缺失的频率分布直方图中,下列说法错误的是()
A.第三组的频数为15人B.估计样本的众数为75分
C.估计样本的中位数75分D.估计样本的平均数为75分
5.已知,则的大小关系为()
A.B.
C.D.
6.将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,再将所得的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,则()
A.的最小正周期为
B.的图象关于直线对称
C.在上单调递增
D.的图像关于点对称
7.抛物线的焦点为,其准线与双曲线的渐近线相交于两点,若的周长为,则()
A.2B.C.8D.4
8.某中学举行全校师生活动,有一个游戏项目是夹乒乓球.如图,四个半径都是1cm的乒乓球放在一个半球面形状的容器中,每个小球的顶端恰好与容器的上沿处于同一水平面,则这个容器的容积是()
A.B.
C.D.
9.已知函数设方程的四个不等实根从小到大依次为,下列判断中一定成立的是()
A.B.
C.D.
第II卷(非选择题共105分)
注意事项:
1.用黑色钢笔或签字笔直接答在答题卡上,答在本试卷上的无效.
2.本卷共11题,共105分.
二?填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.试题中包含两个空的,答对1个的给3分,全部答对的给5分)
10.设为虚数单位,复数__________.
11.在的展开式中,常数项为__________.
12.直线与圆交于两点,若为等边三角形,则的值为__________.
13.先后掷两次骰子(骰子的六个面上的点数分别是1?2?3?4?5?6),落在水平桌面后,记正面朝上的点数分别为x与y,记事件A为“为偶数”,事件B为“x?y中有偶数且”,则概率__________,__________.
14.若实数满足,则的最大值是__________.
15.已知四边形,且,点为线段,上一点,且,则__________,过作交于点,则__________.
三?解答题(本大题共5小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
16.(本小题满分14分)
已知的内角的对边分别为,且.
(1)求的大小:
(2)若,
(i)求的面积;
(ii)求.
17.(本小题满分15分)在如图所示的几何体中,平面平面;是的中点.
(1)求证:;
(2)求直线与平面所成角的正弦值;
(3)求平面与平面的夹角的余弦值.
18.(本小题满分15分)
已知数列为首项的等比数列,且成等差数列:数列为首项的单调递增的等差数列,数列的前项和为,且成等比数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)求;
(3)数列满足,记和分别为和的前项和,证明:.
19.(本小题满分15分)
在平面直角坐标系中,椭圆的离心率为,点是椭圆与轴负半轴的交点,点是椭圆与轴正半轴的交点,且直线与圆相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知斜率大于0的直线与椭圆有唯一的公共点,过点作直线的平行线交椭圆于点,若的面积为,求直线的方程.
20.(本小题满分16分)
已知函数,其中为自然对数的底数,.
(1)当时,函数有极小值,求;
(2)证明:恒成立;
(3)证明:.
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