第06讲 函数的概念与表示（精讲）-2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）原卷版.docxVIP

2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）

第06讲函数的概念与表示（精讲）

①函数的判断与相同函数的判断

②给出函数解析式求解定义域

③抽象函数定义域的求法

④函数值域的求法（八大类型）

⑤函数解析式的求法（五大类型）

⑥分段函数

一、必备知识整合

一、必备知识整合

一、函数的概念

(1)一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数.记作：，.集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为.

(2)函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射.

(3)函数表示法：函数书写方式为，

(4)函数三要素：定义域、值域、对应法则.

(5)同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同.

二、基本的函数定义域限制

求解函数的定义域应注意：

（1）分式的分母不为零；

（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：

（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；

（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；

（5）三角函数中的正切的定义域是且；

（6）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；=2\*GB3②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；

（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.

三、基本初等函数的值域

(1)的值域是.

(2)的值域是：当时，值域为；当时，值域为．

(3)的值域是.

(4)且的值域是.

(5)且的值域是.

五、分段函数

若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．

提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

二、考点分类精讲

二、考点分类精讲

【题型一函数的判断与相同函数的判断】

当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数.

【典例1】（单选题）（23-24高二下·福建三明·阶段练习）下列各组函数相等的是（????）

A．， B．，

C．， D．，

一、单选题

1．（23-24高一上·重庆·期中）已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如下图所示，则的值为（????）

1

2

3

4

3

A． B．0 C．3 D．4

2．（22-23高一上·北京西城·期中）下列图象中，不是函数图象的是（????）

A．?? B．??

C．?? D．??

3．（2023·山东·模拟预测）下列图象中，能表示函数图象的是（????）

??

A．①② B．②③ C．②④ D．①③

4．（23-24高一上·北京丰台·期中）下列图象中，表示定义域和值域均为的函数是（????）

A．?? B．??

C．?? D．??

5．（23-24高三上·河南濮阳·阶段练习）下列函数中，与函数是同一函数的是（????）

A． B．

C． D．

6．（15-16高一上·广东揭阳·阶段练习）下列各组函数表示同一函数的是（）

A．， B．，

C．， D．，

7．（22-23高一上·上海青浦·阶段练习）下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（）

A．与 B．与

C．与 D．与

8．（2023高一·全国·课后作业）已知，在下列四个图形中，能表示集合M到N的函数关系的有（????）

??

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

9．（2023高三·全国·专题练习）下列各组函数是同一函数的是（????）

A．与 B．与

C．与 D．与

【题型二给出函数解析式求解定义域】

已知函数的具体解析式求定义域的方法

(1)简单函数的定义域：若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．

(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．

【典例1】（22-23高一上·甘肃临夏·期末）求函数定义域：

(1)；

(2)．

一、单选题

1．（23-24高一下·河北石家庄·开学考试）已知函数，其定义域为（????）

A． B． C． D．

2．（23-24高一上·浙江·期末）函数的定义域为（????）

A． B．

C． D．

3．（23-24高一上·四川成都·期中）一枚炮弹发射后，经过落到地面击中目标．炮弹的射高为，且炮弹距地面的高度（单位：）与时间（单位：）的关系为．该函数定义域为（????）

A． B． C． D．

4．（23-24高一上·浙江丽水·期末）函数的定