第09讲 二次函数与幂函数（精讲）-2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）原卷版.docxVIP

2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）

第09讲二次函数与幂函数（精讲）

①幂函数的定义与图像

②幂函数的性质及应用

③二次函数单调性问题

④二次函数最值与值域问题

⑤二次函数根的分布与韦达定理

一、必备知识整合

一、必备知识整合

一、幂函数的定义

一般地，(为有理数)的函数，即以\t/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank底数为\t/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank自变量，幂为\t/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank因变量，\t/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank指数为常数的函数称为幂函数.

二、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数

①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数.

(3)幂函数的图象和性质

三、常见的幂函数图像及性质：

函数

图象

定义域

值域

奇偶性

奇

偶

奇

非奇非偶

奇

单调性

在上单调递增

在上单调递减，在上单调递增

在上单调递增

在上单调递增

在和上单调递减

公共点

四、二次函数的图像

二次函数的图像是一条抛物线，二次项系数a的正负决定图象的开口方向，对称轴方程为，顶点坐标为.

1.幂函数在第一象限内图象的画法如下：

①当时，其图象可类似画出；

②当时，其图象可类似画出；

③当时，其图象可类似画出．

2．实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系

（1）方程有两个不等正根

（2）方程有两个不等负根

（3）方程有一正根和一负根，设两根为

二、考点分类精讲

二、考点分类精讲

【题型一幂函数的定义与图像】

若幂函数y＝xα(α∈Z)是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．

【典例1】（单选题）（2024高三·全国·专题练习）若幂函数的图象经过点，则＝（）

A． B．2 C．4 D．

【典例2】（单选题）（2024·四川南充·二模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（????）

A． B． C． D．

一、单选题

1．（23-24高一上·广东广州·期中）下图给出个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是（????）

????????

A．①，②，③，④

B．①，②，③，④

C．①，②，③，④

D．①，②，④，④

2．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知幂函数的图象经过点，则该幂函数在第一象限的大致图象是（????）

A． B． C． D．

3．（22-23高一·全国·课堂例题）幂函数在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（????）

A． B．

C． D．

二、填空题

4．（23-24高三上·上海普陀·期中）若幂函数的图像经过点，则此幂函数的表达式为.

5．（23-24高三上·新疆克孜勒苏·期中）已知幂函数的图象经过点，则的值等于.

6．（23-24高三上·江苏扬州·期中）已知函数的图象过点，则.

7．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知函数，且的图像恒过定点P，且P在幂函数的图像上，则．

8．（2023·全国·模拟预测）已知幂函数的图像与两条坐标轴都没有交点，且不经过第三象限，则（写出一个满足条件的函数即可）.

【题型二幂函数的性质及应用】

(1)紧扣幂函数的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意为奇数时，为奇函数，为偶数时，为偶函数.

(2)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0；若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0．

(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．

【典例1】（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知函数是幂函数，且函数的图象关于轴对称.

(1)求实数的值；

(2)若不等式成立，求实数的取值范围.

一、单选题

1．（2024·山东日照·二模）已知，则“”是“”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2．（2024·广西·二模）下列函数中，在上单调递增的是（????）

A． B．

C． D．

二、多选题

3．（23-24高三上·河北石家庄·期中）下列函数中，在区间上单调递增的是（????）

A． B． C． D．

三、填空题

4．（23-24高三上·上海静安·期中）函数的定义域为.

5．（2024高三·全国·专题练习）已知.若幂函数为奇函数，且在上递减，则.

6．（23-24高三上·广东佛山·阶段练习）当时，幂函数为单调递减函数，则．

7．（23-