第09讲 二次函数与幂函数（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）解析版.docxVIP

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

第09讲二次函数与幂函数（精讲）

题型目录一览

①幂函数的定义与图像

②幂函数的性质和综合应用

③二次函数单调性问题

④二次函数最值问题

⑤二次函数恒成立问题

★【文末附录-幂函数及幂函数解题思路思维导图】

一、知识点梳理

一、知识点梳理

1.幂函数的定义

一般地，(为有理数)的函数，即以\t/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank底数为\t/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank自变量，幂为\t/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank因变量，\t/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank指数为常数的函数称为幂函数.

2.幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数

①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数.

(3)幂函数的图象和性质

3.常见的幂函数图像及性质：

函数

图象

定义域

值域

奇偶性

奇

偶

奇

非奇非偶

奇

单调性

在上单调递增

在上单调递减，在上单调递增

在上单调递增

在上单调递增

在和上单调递减

公共点

4．二次函数的图像

二次函数的图像是一条抛物线，二次项系数a的正负决定图象的开口方向，对称轴方程为，顶点坐标为.

【常用结论】

1.幂函数在第一象限内图象的画法如下：

①当时，其图象可类似画出；

②当时，其图象可类似画出；

③当时，其图象可类似画出．

2．实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系

（1）方程有两个不等正根

（2）方程有两个不等负根

（3）方程有一正根和一负根，设两根为

二、题型分类精讲

二、题型分类精讲

题型一幂函数的定义与图像

策略方法若幂函数y＝xα(α∈Z)是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．

【典例1】已知幂函数满足，则的值为（????）

A．2 B． C． D．

【答案】B

【分析】设出幂函数的解析式，根据已知，求出参数的关系式，即可计算作答.

【详解】依题意，设，则，

所以.

故选：B

【题型训练】

一、单选题

1．现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】根据幂函数的定义逐个辨析即可

【详解】幂函数满足形式，故，满足条件，共2个

故选：B

2．已知为幂函数，且，则（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据幂函数及求其解析式，进而求.

【详解】因为为幂函数，

设，则，

所以，可得，则.

故选：B

3．下列幂函数中，定义域为R的幂函数是（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用分数指数式与根式的互化，结合具体函数的定义域的求法逐项分析即可求出结果.

【详解】A，则需要满足，即，所以函数的定义域为，故A不符合题意；

B，则需要满足，所以函数的定义域为，故B不符合题意；

C，则需要满足，所以函数的定义域为，故C不符合题意；

D，故函数的定义域为，故D正确；

故选：D.

4．已知幂函数的图像过点，则的值域是（???）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】先求出幂函数解析式，根据解析式即可求出值域.

【详解】幂函数的图像过点，

，解得，

，

的值域是.

故选：D.

5．函数的图象大致为（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用函数的奇偶性及幂函数的性质进行排除可得答案.

【详解】因为，所以为偶函数，排除A,B选项；

易知当时，为增函数，且增加幅度较为缓和，所以D不正确.

故选：C.

6．下列函数中，其图像如图所示的函数为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据函数的性质逐项分析即得．

【详解】由图象可知函数为奇函数，定义域为，且在单调递减，

对于A，，定义域为，，

所以函数为奇函数，在单调递减，故A正确；

对于B，，定义域为，故B错误；

对于C，，定义域为，故C错误；

对于D，，定义域为，，函数为偶函数，故D错误.

故选：A．

7．如图所示是函数(且互质)的图象，则（????）

A．是奇数且 B．是偶数，是奇数，且

C．是偶数，是奇数，且 D．是偶数，且

【答案】C

【分析】根据幂函数的性质及图象判断即可；

【详解】解：函数的图象关于轴对称，故为奇数，为偶数，

在第一象限内，函数是凸函数，故，

故选：C.

二、填空题

8．函数的定义域为_______．

【答案】

【解析】将函数解析式变形为，即可求得原函数的定义域.

【详解】，所以，.

因此，函数的定义域为.故答案为：.

9．设集合，集合，则____