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自然数的平方和公式的推导方法总结

自然数的平方和就是，它的结果是。对于这一结论的推导，方法多种多样，现将我所知道的方法一一总结如下，与大家共享。

方法一：设数列，其中，那么

的一阶差数列记为，其中，首项为；

的二阶差数列记为，其中

，首项为；

的三阶差数列记为，其中

，首项为；

于是我们可知数列为三阶等差数列。于是我们应用下面方法求可求出数列的通项。

=5+=5+2+2+……+2=

亦知当时亦有，

故有

=4+=

=

亦知当时亦有。

故有

=1+

=

知当时亦有

故有

=

=。

点评：在上面的推导方法中，首先对组合数的定义进行了推广，规定。这样的推广对于组合数的性质并无影响。

即对于nm时仍成立。〔下文中所用的组合数都是推广后的组合数〕于是我们有

；。

另外，此种证法关键在于发现数列是一个三阶等差数列，从而应用组合数性质导出其通项。如果我们将这一问题稍做推广，就会得到k阶等差数列通项公式的一般形式，即

。其中表示数列的阶差数列的首项。

如果进一步推广，就会发现，数列为k阶等差数列的一个充要条件是数列的通项是一个关于n的k次多项式。于是我们应用这一结论，就会得到证法二。

证法二：设数列，其中，那么由〔1〕知数列是一个3阶等差数列，所以设。

又因，于是

解得

所以。

点评：上面应用的方法是待定系数法，其关键在于发现数列为三阶等差数列。

证法三：。

所以

==。

点评：此种证法是一次公开课中，由李爱廷老师提出的一种证法。此种证法很简洁，关键在于对进行了适当的分解，从而应用组合数性质，对公式进行了证明。此种证法还可继续推广，用于证明更多的问题。如

那么=。

=；

那么

=

=。

上面的证法关键都在于对进行了适当的拆分，然后对重新进行组合、合并。而这些能力也恰巧是我们代数运算中的根本功。

证法四：因为

所以=

=1*n+3*(n-1)+5*(n-2)+……+(2k-1)(n-k+1)+……+(2n-1)*1(1)

其中(2k-1)(n-k+1)=

于是〔1〕=

所以3〔〕=

解得==。

点评：此证法源于周沛耕老师的应用一文。此证法灵活应用了的公式，对进行拆分，重组，并应用到了方程的思想。值得注意的是此证法也具有良好的推广价值。详见《数学兴趣与创造力》一书。

证法四：利用立方和公式可得

=

于是有

…………

将上面各式左右两边分别相加，就会有

设S=,那么

解得

点评：此种证法应用了立方差公式，从而构造出一个关于的等式，应用方程的思想证明了结论。证法更加简单。

证法一与证法三都用到了组合数的性质，而证法二其实是应用了证法一的结论：数列为k阶等差数列的一个充要条件是数列的通项是一个关于n的k次多项式。证法四、五有点新意，但就其证明关键点来说，又与证法三，证法一有相同之处，就是对进行适当的拆分，重组。由此可见对多项式进行拆分，重组是代数的一种根本的运算能力，掌握了这一种运算能力，才算真正掌握了“通解通法”。

另外，以上证法都是应用的初等数学的方法，如果应用高等数学中的积分等知识，我们是否会有更好，更有一般的证法呢？希望读者能够继续探索下去，一座知识的宝库或许将为你开放。。