第19讲 导数的概念及其运算（原卷版）.docxVIP

第19讲导数的概念及其运算

1.导数的几何意义

(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝．

(2)曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为.

2.基本初等函数的导数公式

基本初等函数

导函数

f(x)＝c(c为常数)

f(x)＝xα(α是实数)

f(x)＝sinx

f(x)＝cosx

f(x)＝ex

f(x)＝ax(a＞0)

f(x)＝lnx

f(x)＝logax(a＞0，a≠1)

3.导数的运算法则

若f′(x)，g′(x)存在，则：

(1)[f(x)±g(x)]′＝；

(2)[f(x)·g(x)]′＝；

(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f?x?,g?x?)))′＝(g(x)≠0)．

4.复合函数的求导：复合函数y＝f(g(x))的导数y′＝.

5.设s＝s(t)是位移函数，则s′(t0)表示物体在t＝t0时刻的;设v＝v(t)是速度函数，则v′(t0)表示物体在t＝t0时刻的.

1、【2022年新高考1卷】若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线，则

2、【2022年新高考2卷】曲线y=ln

3、【2021年甲卷理科】曲线在点处的切线方程为__________．

4、【2020年新课标1卷理科】函数的图像在点处的切线方程为（???????）

A． B．

C． D．

5、【2020年新课标3卷理科】若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（???????）

A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+

6、【2019年新课标3卷理科】已知曲线在点处的切线方程为，则

A． B． C． D．

1、下列求导结果正确的是（）

A． B．

C． D．

2、若，则（）

A． B． C． D．

3、(2022·珠海高三期末)若函数f(x)＝lnx＋eq\f(a,x)的图象在x＝1处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，则a＝________．

4、函数y＝xsinx－cosx的导数为______________________．

5、（2022·福建·莆田二中模拟预测）曲线在点处的切线方程为______．

6、（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）曲线在点处的切线方程为______．

考向一基本函数的导数

例1、求下列函数的导数.

(1)y＝x2sinx；(2)y＝lnx＋eq\f(1,x)；

(3)y＝eq\f(cosx,ex)；(4)y＝xsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2))).

变式1已知定义在R上的可导函数f(x)满足：f(1)＝1，f′(x)＋2x0，其中f′(x)是f(x)的导数，写出满足上述条件的一个函数.

变式2求下列函数的导数：

(1)f(x)＝(x2＋2x－1)e1－x；

(2)f(x)＝lneq\f(x－1,x＋1).

变式3、求下列函数的导数：

(1)f(x)＝x3＋xsinx；

(2)f(x)＝xlnx＋2x;

(3)f(x)＝excosx；

(4)f(x)＝eq\f(1－sinx,cosx).

方法总结：求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点：

连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元

考向二求导数的切线方程

例2、（1）（2022·河北衡水中学一模）已知为偶函数，且当时，，则在处的切线方程为______．

（2）（2022·福建·三模）已知是定义在上的函数，且函数是奇函数，当时，，则曲线在处的切线方程是（???????）

A． B． C． D．

变式1、(1)若函数f(x)＝2eq\r(x)的图象在点(a，f(a))处的切线与直线2x＋y－4＝0垂直，求该切线的方程；

(2)求过点P(2，5)与曲线f(x)＝x3－x＋3相切的直线方程；

(3)若存在过点(1，0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋eq\f(15,4)x－9都相切，求实数a的值．

变式2、（2022·广东深圳·二模）已知，若过点可以作曲线的三条切线，则（???????）

A． B． C． D．

方法总结：利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练