第21讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象性质及其应用（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）解析版.docxVIP

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

第21讲函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象性质及其应用（精讲）

题型目录一览

①函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调性

②函数y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性、对称性

③函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像变换

④根据图像求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式

⑤三角函数图像与性质的综合应用

一、知识点梳理

一、知识点梳理

一、的图像与性质

（1）最小正周期：.

（2）定义域与值域：的定义域为R，值域为[-A,A].

（3）最值（以下）

（4）单调性

（5）对称轴与对称中心.

正弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置，对称中心是与轴交点的位置.

（6）平移与伸缩

函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(ω0)的图象的步骤

注：每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少.

【常用结论】

1.根据图像求解析式一般步骤

①根据最高最低点求出A

②根据周期算出,题目一般会提供周期的一部分

③通过带最高或最低点算出φ

2.对称与周期

(1)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴之间的距离是；

(2)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两个对称中心的距离是；

(3)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴与对称中心距离；

3.函数具有奇、偶性的充要条件

(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数?φ＝kπ(k∈Z)；

(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数?φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；

(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数?φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；

(4)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数?φ＝kπ(k∈Z)．

二、题型分类精讲

二、题型分类精讲

题型一函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调性

【典例1】函数的单调递增区间是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】化简可得，整体法求出函数的单调递增区间，结合已知范围，即可得出答案.

【详解】因为.

由可得，

.

当时，，且；

当时，所以，.

所以，函数在上的单调递增区间是.

故选：A.

【题型训练】

一、单选题

1．（2023春·全国·高三专题练习）已知函数，则（????）

A．在上单调递减 B．在上单调递增

C．在上单调递减 D．在上单调递增

【答案】C

【分析】利用余弦函数的二倍角公式化简得出，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.

【详解】因为.

对于A选项，当时，

在上单调递增，A错；

对于B选项，当时，

则在上单调递增，在上单调递减，

故B错；

对于C选项，当时，

则在上单调递减，C对；

对于D选项，当时，

则在上单调递减，故D错.

故选：C.

2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）下列区间中，函数单调递减的区间是（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】化简为，再结合余弦函数的单调区间即可判断各项.

【详解】

对于A，当时，，单调递增，A错误；

对于B，当时，，没有单调性，B错误；

对于C，当时，，单调递减，C正确；

对于D，当时，，没有单调性，D错误.故选：C

3．（2023春·高三课时练习）函数的单调递增区间是（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据正弦函数的性质、复合函数的单调性以及整体代换技巧进行求解.

【详解】因为，由有：

，故B，C，D错误.

故选：A.

4．（2023春·四川绵阳·高三四川省绵阳江油中学校考期中）下列不等式成立的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】分别判断正弦、余弦、正切、的单调性，判断选项A，B，C，再结和正弦余弦正切单调性及诱导公式找中间值比较即可判断D选项.

【详解】A选项：因为在上单调递增，

且，

所以有，

故A错误；

B选项：因为在上单调递增，

且，

所以有，故B错误；

C选项：在上单调递减，

且，

所以有，故C错误.

D选项：因为在上单调递增，

且，

所以，

由在上单调递增，

且，

所以，

所以，

故选：D.

二、多选题

5．（2023·湖南邵阳·统考三模）已知函数，则（????）

A．的最小正周期为 B．在上单调递增

C．的图象关于直线对称 D．若，则的最小值为

【答案】BC

【分析】利用整体思想，结合余弦函数的周期性、对称性、单调性，可得答案.

【详解】对于A，由函数，则，故A错误；

对于B，由，则，

因为函数在上单调递增，所以在上单调递增，

故B正确；

对于C，由，则，因为函数的对称轴为直线，故C正确；

对于D，由，则，令，解得，

因为函数在上单调递增，在上单调递减，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

故，故D