湖南省名校联考联合体2025届高三上学期入学摸底考试数学试题（含答案解析）.docx

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湖南省名校联考联合体2025届高三上学期入学摸底考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知向量，若，则等于（????）

A．9 B．3 C．-1 D．-3

2．已知集合，若中有且仅有一个元素，则实数的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

3．已知复数，若复数为纯虚数，则实数的值为（????）

A． B． C．-2 D．2

4．已知，则（????）

A． B． C． D．

5．已知双曲线，若双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（????）

A． B． C． D．

6．在中，角所对的边分别为，若，则的大小为（????）

A． B． C． D．

7．已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线方程为

A． B．

C． D．

8．如图，已知正方体的棱长为，圆锥在正方体内，且垂直圆锥的底面，当该圆锥底面积最大时，圆锥体积为（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知数据，满足：，若去掉，后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法正确的是（????）

A．中位数不变

B．若，则数据的第75百分位数为13

C．平均数不变

D．方差变小

10．已知定义在区间上的函数，其中，若函数恰有两个极值点，设其极大值?极小值分别记为.则下列结论正确的是（????）

A．函数的图象关于直线对称

B．实数的取值范围为

C．

D．

11．已知是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若的面积等于4.则下列结论正确的是（????）

A．若点是椭圆的短轴顶点，则椭圆的标准方程为

B．若是动点，则的值恒为2

C．若是动点，则椭圆的离心率的取值范围是

D．若是动点，则的取值范围是

三、填空题

12．将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的值为.

13．已知奇函数在其定义域上是减函数，且，则的取值范围为.

14．某超市为了保证顾客能购买到新鲜的牛奶又不用过多存货，统计了30天销售水牛奶的情况，获得如下数据：

日销售量/件

10

20

30

40

天数

3

6

15

6

该超市存货管理水平的高低会直接影响超市的经营情况.该超市对鲜牛奶实行如下存货管理制度：当天营业结束后检查存货，若存货少于30件，则通知配送中心立即补货至40件，否则不补货.假设某天开始营业时货架上有40件水牛奶，则第二天营业结束后货架上有20件存货的概率为.（以样本估计总体，将频率视为概率）

四、解答题

15．近年来，我国新能源汽车进入快车道，自2015年以来，产销量已经连续八年增长，位居全球前列.近期国院出台了新能源汽车系列政策，促进了新能源汽车产业的发展.某市一家知名品牌的新能源汽车企业近5个月的产值数据统计如下表：

月份

6月

7月

8月

9月

10月

月份代

1

2

3

4

5

产值（百亿元）

16

20

27

30

37

(1)求出关于的经验回归方程，并预测明年3月份该企业的产值；

(2)该企业依据市场调研，为满足消费者的购买需求，设计并生产了三种类型新能源汽车，这三种类型的销量比依次为，销售价格依次为15万，25万，40万.若该新能源汽车的某4S店每天销售2台，设销售额为随机变量，求的分布列和数学期望.

参考公式：；

参考数据：.

16．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且.

(1)求抛物线的标准方程；

(2)抛物线的准线与轴交于点，过的直线交抛物线于两点，且，点为线段的垂直平分线与轴的交点，求点的横坐标的取值范围.

17．如图，在直三棱柱中，是侧棱的中点，.

(1)证明：平面平面；

(2)求锐二面角的余弦值.

18．已知函数.

(1)求的单调区间；

(2)设函数.证明：

（i）函数有唯一极值点；

（ii）若函数有唯一零点，则.

19．给定整数，数列，且，为整数.在中去掉一项，并将剩下的数分成项数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为.将中的最小值称为数列的特征值.

(1)已知数列，写出的值及的特征值；

(2)若，当，其中，且时，证明：；

(3)已知数列的特征值为，求的最小值.

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参考答案：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

B

A

A

B

D

C

C

ACD

ABC

题号

11

答案

ABD