第5章　习题课　含参数的函数的最大(小)值.docx

习题课含参数的函数的最大(小)值

[学习目标]1.能利用导数求简单的含参的函数的最值问题.2.能根据最值求参数的值或取值范围.3.初步探究有关探索性的问题．

一、求含参数的函数的最值

例1已知函数f(x)＝x3－ax2－a2x.求函数f(x)在[0，＋∞)上的最小值．

延伸探究当a0时，求函数f(x)＝x3－ax2－a2x在[－a,2a]上的最值．

反思感悟含参数的函数的最值问题大体有两类

(1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题．

(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．

跟踪训练1已知a∈R，函数f(x)＝x2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x－a))，求f(x)在区间[0,2]上的最大值．

二、由最值求参数的值或范围

例2已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．

反思感悟已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．

跟踪训练2已知函数h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k,2]上的最大值是28，求k的取值范围．

三、与最值有关的探究性问题

例3已知f(x)＝ax－lnx，a∈R.

(1)当a＝1时，求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；

(2)是否存在实数a，使f(x)在区间(0，e]上的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

反思感悟与最值有关的探究性问题的解题思路

对于形式为“是否存在……，使得……”的探究性问题，一般先假设存在，把假设当条件去求参数的取值或范围，若能求出，则存在；否则不存在．

跟踪训练3已知函数f(x)＝2x3－ax2＋1.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)是否存在a，使得f(x)在区间[0,1]上的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a的所有值；若不存在，说明理由．

1.知识清单：

(1)求含参的函数的最值．

(2)由最值求参数的值或取值范围．

(3)与最值有关的探究性问题．

2.方法归纳：转化法、分类讨论．

3.常见误区：分类讨论解决含参的问题时是否做到了不重不漏．

1．函数f(x)＝eq\f(x＋a,ex)的最大值为()

A．a B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－1))e

C．e1－a D．ea－1

2．已知函数f(x)＝ax3＋c，且f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1))＝6，函数在[1,2]上的最大值为20，则c的值为()

A．1B．4C．－1D．0

3．已知函数f(x)＝eq\f(x,x2＋a)(a0)在[1，＋∞)上的最大值为eq\f(\r(3),3)，则a的值为()

A.eq\r(3)－1B.eq\f(3,4)C.eq\f(4,3)D.eq\r(3)＋1

4．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2,2]上有最小值－37，则a的值为________，f(x)在[－2,2]上的最大值为________．