第39讲 圆的方程、直线与圆的位置关系（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）解析版.docxVIP

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

第39讲圆的方程、直线与圆的位置关系（精讲）

题型目录一览

①圆的方程

②点与圆的位置关系

③与圆有关的轨迹问题

④直线与圆相交

⑤直线与圆相切、相离

一、知识点梳理

一、知识点梳理

一、圆的基本概念

平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆．

二、圆的基本性质、定理与公式

1．圆的四种方程

（1）圆的标准方程：，圆心坐标为（a，b），半径为

（2）圆的一般方程：，圆心坐标为，半径

（3）圆的直径式方程：若，则以线段AB为直径的圆的方程是

（4）圆的参数方程：

①的参数方程为（为参数）；

②的参数方程为（为参数）．

注意：对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为（为参数，为圆心，r为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值．

2．点与圆的位置关系判断

（1）点与圆的位置关系：

①点P在圆外；

②点P在圆上；

③点P在圆内．

（2）点与圆的位置关系：

①点P在圆外；

②点P在圆上；

③点P在圆内．

三、直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交

四、直线与圆的位置关系判断

（1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系）

圆心到直线的距离，则：

直线与圆相交，交于两点，；

直线与圆相切；

直线与圆相离

（2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）

由，消元得到一元二次方程，判别式为，则：

直线与圆相交；

直线与圆相切；

直线与圆相离．

【常用结论】

关于圆的切线的几个重要结论

（1）过圆上一点的圆的切线方程为．

（2）过圆上一点的圆的切线方程为

（3）过圆上一点的圆的切线方程为

（4）求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解

①所求切线一定有两条；

②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意．

二、题型分类精讲

二、题型分类精讲

题型一圆的方程

策略方法求圆的方程的两种方法

【典例1】已知圆过三点，，，则的圆心和半径分别为（????）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【分析】利用斜率可以推出是直角三角形，而直角三角形外接圆的直径是斜边长，圆心是斜边中点，据此求解.

【详解】由题意，，，即，

故，即是直角三角形，且为斜边，

直角三角形外接圆的直径是斜边长，圆心是斜边中点，

又，

于是的外接圆半径为，圆心是的中点，即.

故选：A

【题型训练】

一、单选题

1．（2023·全国·高三专题练习）若方程表示圆，则实数的取值范围为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据二元二次方程表示圆的条件列不等式，由此求得的取值范围.

【详解】由圆的一般式方程可得，即，求得，

故选：A

2．（2023·全国·高三专题练习）已知圆的方程为，则圆心的坐标为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将圆的方程配成标准方程，可求得圆心坐标.

【详解】圆的标准方程为，圆心的坐标为.

故选：A.

3．（2023·全国·高三专题练习）已知直线是圆的对称轴，则的值为（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由圆的方程可得圆心坐标，根据圆心在直线上可求得结果.

【详解】由圆方程得：圆心，

直线是圆的对称轴，圆心在直线上，即，解得：.

故选：A.

4．（2023·全国·高三专题练习）已知的顶点，，，则其外接圆的方程为（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先设圆的方程为，根据题意，列出方程组求解，即可求出结果.

【详解】设的外接圆的方程为，

因为的顶点，，，

所以，解得，

因此即为所求圆的方程.

故选：A.

【点睛】本题主要考查求圆的标准方程，利用待定系数法求解即可，属于基础题型.

5．（2023·全国·高三专题练习）以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】求出圆心到直线的距离即得圆的半径，即得圆的方程.

【详解】由题得圆心到直线的距离，

所以圆的方程为.

故选：D.

6．（2023·全国·高三专题练习）圆C：关于直线对称的圆的方程是（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据点关于直线对称的性质，结合圆的标准方程进行求解即可.

【详解】由圆C：，可知圆心坐标：，半径为，

因为点关于直线的对称点为，

所以圆C：关于直线对称的圆的方程是

，

故选：C

7．（2023·高三课时练习）关于x、y的方程表示一个圆的充要条件是（?