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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结(新高考通用)
第38讲两条直线的位置关系(精讲)
题型目录一览
①两条直线的位置关系
②两条直线的交点和距离问题
③对称问题Ⅰ-点关于点和线关于点
④对称问题Ⅱ-点关于线和线关于线
⑤直线的综合问题
一、知识点梳理
一、知识点梳理
一、两直线平行与垂直的判定
两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现,如表所示.
两直线方程
平行
垂直
(斜率存在)
(斜率不存在)
或
或中有一个为0,另一个不存在.
二、三种距离
1.两点间的距离
平面上两点的距离公式为.
特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离
2.点到直线的距离
点到直线的距离
特别地,若直线为l:x=m,则点到l的距离;若直线为l:y=n,则点到l的距离
3.两条平行线间的距离
已知是两条平行线,求间距离的方法:
(1)转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离.
(2)设,则与之间的距离
注:两平行直线方程中,x,y前面对应系数要相等.
4.双根式
双根式型函数求解,首先想到两点间的距离,或者利用单调性求解.
三、直线中的对称问题
1.点关于点对称
点关于点对称的本质是中点坐标公式:设点关于点的对称点为,则根据中点坐标公式,有,可得对称点的坐标为
2.点关于直线对称
点关于直线对称的点为,连接,交于点,则垂直平分,所以,且为中点,又因为在直线上,故可得,解出即可.
3.直线关于点对称
法一:在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程;
法二:求出一个对称点,再利用两对称直线平行,由点斜式得到所求直线方程.
4.直线关于直线对称
求直线,关于直线(两直线不平行)的对称直线
第一步:联立算出交点
第二步:在上任找一点(非交点),利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点
第三步:利用两点式写出方程
5.常见的一些特殊的对称
点关于轴的对称点为,关于轴的对称点为.
点关于直线的对称点为,关于直线的对称点为.
点关于直线的对称点为,关于直线的对称点为.
点关于点的对称点为.
点关于直线的对称点为,关于直线的对称点为.
四、直线系方程
1.过定点直线系
过已知点的直线系方程(为参数).
2.斜率为定值直线系
斜率为的直线系方程(是参数).
3.平行直线系
与已知直线平行的直线系方程(为参数).
4.垂直直线系
与已知直线垂直的直线系方程(为参数).
5.过两直线交点的直线系
过直线与的交点的直线系方程:(为参数).
二、题型分类精讲
二、题型分类精讲
题型一两条直线的位置关系
策略方法由一般式确定两直线位置关系的方法
判断两直线的位置关系可以从斜率是否存在分类判断,也可以按照以下方法判断:一般地,设(不全为0),(不全为0),则:
当时,直线相交;
当时,直线平行或重合,代回检验;
当时,直线垂直,与向量的平行与垂直类比记忆.
【典例1】(单选题)若直线:?与直线:平行,则?的值为(?????)
A.或 B.? C.?或 D.
【答案】B
【分析】根据两直线平行时斜率相等,列出方程求解,再排除两直线重合的情况即可得到答案.
【详解】因为直线:?与直线:平行
则,解得:或,
当时,两直线重合,舍去;当时,验证满足.
故选:B.
【典例2】(单选题)直线:,:,则“或”是“”的(????)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】由充分条件和必要条件的定义
【详解】当时,直线:,:,两直线倾斜角分别为和,;
当时,直线的斜率为,的斜率为9,,.
充分性成立,
直线:,:,若,
则有,解得或.
必要性成立.
所以“或”是“”的充要条件.
故选:C
【题型训练】
一、单选题
1.(2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测)直线与平行,则实数(????)
A. B. C.或 D.0
【答案】A
【分析】由直线与直线平行的充要条件,列式求解即可.
【详解】因为直线与平行,
所以且,解得.
故选:A.
2.(2023·全国·高三对口高考)直线过点且与直线垂直,则的方程是(????)
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】求出直线的斜率,然后利用点斜式可写出直线的方程,化为一般式可得出答案.
【详解】直线的斜率为,则直线的斜率为,
因此,直线的方程为,即.
故选:C.
3.(2023·全国·高三专题练习)若平面内两条平行线:,:间的距离为,则实数(????)
A.2 B.-2或1 C.-1 D.-1或2
【答案】A
【分析】根据直线平行,求得的值,结合两平行线的距离公式,即可求解.
【详解】因为两直线:,:平行,
可得且,解得或,
当时,,,即,
可两平行线间的距离为,符合题意;
当时,,,即,
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