沪科版八年级数学上册专项素养综合练(七)证明两个三角形全等的常考模型课件.ppt

专项素养综合练(七)证明两个三角形全等的常考模型

1.如图,AD与BC相交于点O,AC=BD,∠C=∠D=90°.(1)求证:△AOC≌△BOD;(2)△ABC和△BAD全等吗?请说明理由.类型一“拥抱”型

解析(1)证明:在△AOC与△BOD中,?∴△AOC≌△BOD(AAS).(2)△ABC和△BAD全等.理由:∵∠C=∠D=90°,∴在Rt△ABC

与Rt△BAD中,?∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).

类型二“一线三等角”模型2.(1)如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.证明:DE=BD+CE.(2)如图2,将(1)中的条件改为:在△ABC中,AB=AC,D、A、E

三点都在直线m上,且∠BDA=∠AEC=∠BAC=∠α,其中∠α

为任意锐角或钝角.结论DE=BD+CE是否仍然成立?若成立,

请给出证明;若不成立,请说明理由.

解析(1)证明:∵BD⊥DE,CE⊥DE,∴∠BDA=∠CEA=90°.

∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠CAE=∠BAD+∠ABD=90°,∴∠

ABD=∠CAE.在△ABD和△CAE中,?∴△ABD≌△CAE(AAS),∴BD=AE,CE=AD,∴DE=AE+AD=BD+CE.(2)成立.证明如下:∵∠BDA=∠AEC=∠BAC=∠α,∴∠BAD+∠CAE=180°-∠α,

且∠DBA+∠BAD=180°-∠α,∴∠DBA=∠CAE.在△ABD和

△CAE中,?∴△ABD≌△CAE(AAS),∴BD=AE,CE=AD,∴DE=AE+AD=BD+CE.

归纳总结????一线三垂直模型是初中几何图形中的重要模型,一般只

要题目中出现一线三垂直的图形,就可以根据“同角的余角

相等”得到两组相等的角.一线三垂直模型通常情况下利用

的是两角互余与平角是180°,通过角的相关等量关系和已知

的一组边对应相等证得两个直角三角形全等.

类型三“8”字模型3.(2024河南安阳殷都期末)如图,在△ABC中,点D是AC上一

点,BF∥AC,DF交BC于点E,DE=EF.(1)求证:△CDE≌△BFE;(2)若AC=8,BF=6,求AD的长.

解析(1)证明:∵BF∥AC,∴∠C=∠EBF,∠CDE=∠BFE.在

△CDE和△BFE中,?∴△CDE≌△BFE(AAS).(2)∵△CDE≌△BFE,∴CD=BF=6,∴AD=AC-CD=8-6=2.

类型四“飞镖”模型4.(2024安徽池州贵池期末)如图,BD是∠ABC的平分线,AB=

BC,点E在BD上,连接AE、CE,过点D作DF⊥AE,DG⊥CE,垂

足分别是点F、G.(1)求证:△ABE≌△CBE;(2)求证:DF=DG.

证明(1)∵BD是∠ABC的平分线,∴∠ABE=∠CBE.在△

ABE和△CBE中,?∴△ABE≌△CBE(SAS).(2)∵△ABE≌△CBE,∴∠AEB=∠CEB,∴∠AED=∠CED,∵

DF⊥AE,DG⊥CE,∴∠DFE=∠DGE=90°.∵DE=DE,∴△

DFE≌△DGE(AAS),∴DF=DG.

类型五“手拉手”模型5.如图,已知△ABC,以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正

方形ACGE,连接BE,CD,试判断BE与CD之间的数量关系,并

说明理由.

解析????BE=CD.理由如下:∵四边形ABFD和四边形ACGE均为正方形,∴AD=AB,AC=

AE,∠BAD=∠CAE=90°,∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,

即∠CAD=∠EAB.在△CAD和△EAB中,?∴△CAD≌△EAB(SAS),∴BE=CD.