《高等数学（第二版）》第2课 极限 教案.docxVIP

第2课极限

课题

极限

课时

4课时（180min）。

教学目标

知识技能目标：

1．了解极限的分类。

2．通过学习与练习掌握极限推导。

思政育人目标：

让学生通过学习极限，培养学生的极限思想，通过基本方法解决相关的高等数学问题。

教学重难点

教学重点：数列极限、函数极限、无穷小量与无穷大量

教学难点：极限运算法则与两个重要极限

教学方法

讲授法、问答法、讨论法

教学用具

电脑、投影仪、多媒体课件、教材

教学设计

第1节课：考勤（2min）--知识讲解（40min）--作业布置（3min）

第2节课：知识讲解（40min）--课堂小结（3min）--作业布置（2min）

第3节课：知识讲解（40min）--课堂小结（3min）--作业布置（2min）

第4节课：知识讲解（40min）--课堂小结（3min）--作业布置（2min）

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

考勤

（2min）

■【教师】清点上课人数，记录好考勤

■【学生】班干部报请假人员及原因

培养学生的组织纪律性,掌握学生的出勤情况

知识讲解

（40min）

【教师】讲解数列极限

一、数列极限的概念

按一定次序排列的无穷多个数

x1,x2,x3,…,xn,…

称为无穷数列,简称数列,可简记为{xn}.其中每一项称为数列的项,xn称为通项(一般项).

定义设有数列{xn}与常数a,如果当n无限增大时,xn无限接近于a,则称常数a为数列{xn}的极限,或称数列{xn}收敛于a,记为

lim

如果一个数列没有极限,就称该数列是发散的.

注:记号xn→a(n→∞)常读作:当n趋于无穷大时,xn趋于a.

例下列各数列是否收敛,若收敛,请指出其收敛于何值.

(1){3n}；(2)1n

(3){(-1)n+1}.

解(1)数列{3n}即为

3,9,27,…,3n,….

易见,当n无限增大时,3n也无限增大,故该数列是发散的.

(2)数列即为

1,12,13,…,

易见,当n无限增大时,也无限接近于0,故该数列收敛于0.

(3)数列{(-1)n+1}即为

1,-1,1,-1,…,(-1)n+1,…

易见,当n无限增大时,(-1)n+1无休止地反复取1,-1两个数,而不会无限接近于任何一个确定的常数,故该数列是发散的.

二、数列收敛的条件

定理1(必要条件)若数列{xn}收敛,则数列{xn}一定有界.

需要注意的是,有界数列不一定收敛,但无界数列必然发散.

定理2(充要条件)数列{xn}收敛于a的充要条件是其任一子数列都收敛于a.

定理3(充要条件)数列{xn}收敛于a的充要条件是其子数列{x2m-1}与{x2m}都收敛于a.

三、建立函数模型

在当前市场经济条件下,在商店,尤其是私营个体商店中的商品,所标价格a与其实际价值b之间,存在着相当大的差距.对购物的消费者来说,总希望这个差距越小越好,即希望比值ab=λ=1;而商家则希望λ1.这样,就存在两个问题:第一,商家应如何根据商品的实际价值(或保本价)b来确定其价格a才较为合理?第二,购物者根据商品定价,应如何与商家“讨价还价”

个体商家在实际定价中,常用黄金数,方法,即按实际价值b定出的价格a,使ba

对消费者来说,如何“讨价还价”,才算合理?一种常见的方法是“对半还价法”,消费者第一次减去定价的一半,商家第一次讨价则加上二者差价的一半;消费者第二次还价再减去二者差价的一半......直至达到双方都能接受的价格为止.

有人认为,这样讨价还价的结果,其理想的最终价格,将是原定价的黄金分割点.其实不然,我们可建立数学模型定量分析一下上述讨价还价,的过程和结果.

设原定价格为a,各次讨价还价如表2-1所示。

由此可见,bk和ck是摆动数列{an}的交错项:

n=1时,a1=a2

n≥2时,an=a2+[a4-a8+…+(?1)n2na].a

这就是{bn}和{cn}共同的极限值.也就是说,对半讨价还价的最终结果,是原价的三分之二.

又因23

【学生】思考、讨论。

讲解数列极限，让学生更加仔细的了解数列极限，从而激发学生的学习欲望。

作业布置（3min）

【教师】布置课后作业

求证下列数列的极限不存在:

通过课后练习，使学生巩固所学新知识

知识讲解

（40min）

【教师】讲解函数极限

一、x→o的情形

定义1如果当x的绝对值无限增大时,函数f(x)无限接近于常数A,则称常数A为函数f(x)当x→∞时的极限,记作

limx→∞f(x)=A,

如果在上述定义中,限制x只取正值或者只取