《高等数学（第二版）》第6课 不定积分 教案.docxVIP

第6课不定积分

课题

不定积分

课时

4课时（180min）。

教学目标

知识技能目标：

1．了解不定积分。

2．通过学习与练习掌握不定积分的概念与性质。

思政育人目标：

让学生通过学习不定积分，了解其中的性质概念，培养数学观念、促成创造思维，建立数学和用数学解决问题的指导思想。

教学重难点

教学重点：不定积分的概念与性质、直接积分法、换元积分法

教学难点：分部积分法

教学方法

讲授法、问答法、讨论法

教学用具

电脑、投影仪、多媒体课件、教材

教学设计

第1节课：考勤（2min）--知识讲解（40min）--作业布置（3min）

第2节课：知识讲解（40min）--课堂小结（3min）--作业布置（2min）

第3节课：知识讲解（40min）--课堂小结（3min）--作业布置（2min）

第4节课：知识讲解（40min）--课堂小结（3min）--作业布置（2min）

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

考勤

（2min）

■【教师】清点上课人数，记录好考勤

■【学生】班干部报请假人员及原因

培养学生的组织纪律性,掌握学生的出勤情况

知识讲解

（40min）

【教师】讲解不定积分的概念与性质

一、原函数的概念

从微分学知道:若已知曲线方程y=f(x),则可求出该曲线在任一点x处的切线的斜率k=f(x).

例如,曲线y=x2在点x处的切线的斜率k=2x.

现在要解决其逆问题:已知曲线上任意一点x的切线的斜率,要求该曲线的方程.

为此,我们引进原函数的概念.

定义1设f(x)是定义在区间I上的函数,若存在函数F(x),使得对任意x∈I均有

F(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,

则称F(x)为f(x)在区间I上的原函数.

例如,因为(sinx)=cosx,故sinx是cosx的一个原函数.

因为(x2)=2x,故x2是2x的一个原函数.

因为(x2+1)=2x,故x2+1是2x的一个原函数.从上述后面两个例子可见:一个函数的原函数不是唯一的.

事实上,若F(x)为f(x)在区间I上的原函数,则有

F(x)=f(x),[F(x)+C]=f(x)(C为任意常数).

从而,F(x)+C也是f(x)在区间I上的原函数.

这表明一个函数的任意两个原函数之间相差一个常数.

设F(x)和G(x)都是f(x)的原函数,则

[F(x)-G(x)]=F(x)-G(x)=f(x)-f(x)=0,即F(x)-G(x)=C(C为任意常数).

定理1区间I上连续的函数一定有原函数.

注：求函数f(x)的原函数,实质上就是求它是由什么函数求导得来的.一旦求得f(x)的一个原函数F(x),则其全体原函数为F(x)+C(C为任意常数).f(x)所有原函数组成一个函数族.

二、不定积分的概念

定义2在区间I上的函数f(x),若存在原函数,则称f(x)为可积函数,并将f(x)的全体原函数记为f(x)dx,称它是函数f(x)在区间I内的不定积分,其中∫称为积分符号,f(x)称为被积函数,x称为积分变量.

由定义知,若F(x)为f(x)的原函数,则

f(x)dx=F(x)+C(C为积分常数).

注：1.函数f(x)的原函数的图像,称为f(x)的积分曲线.

2.函数f(x)的所有原函数的图像,称为f(x)积分曲线族.

3.函数f(x)的不定积分∫f(x)dx是一族积分曲线.这一族积分曲线可由其中任一条沿着y轴平行移动而得到.在每一条积分曲线上横坐标相同的点x处作切线,切线互相平行,其斜率都是f(x).见图6-1.

由定义知,求函数f(x)的不定积分,就是求f(x)的全体原函数.在∫f(x)dx中,积分号∫表示对函数f(x)实行求原函数的运算,故求不定积分的运算实质上就是求导(或求微分)运算的逆运算.

例已知曲线y=f(x)在任一点x处的切线斜率为2x,且曲线通过点(1,2),求此曲线的方程.

解根据题意知,

f(x)=2x,

即f(x)是2x的一个原函数,从而

f(x)=∫2xdx=x2+C,

由曲线通过点(1,2)得

2=12+C,即C=1,

故所求曲线方程为y=x2+1.

三、基本积分表

根据不定积分的定义,由导数或微分基本公式,即可得到不定积分的基本公式.这里我们列出基本积分表,请务必熟记.

四、不定积分的性质

由不定积分的定义知,若F(x)为f(x)在区间I的原函数,即

F(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,

则f(x)在区间I内的不定积分为

∫f(x)dx=F(x)+C.

易见∫f(x)dx是f(x)的原函数,故有:

性质1

或

又由于F(x)是F(x)的原函数,故有

性质2

或

注：由