2023-2024学年上海交通大学附属中学高二上学期摸底考试数学试卷含答案.docx

交大附中2023-2024学年高二摸底考数学试卷2023.09

一.填空题

1.若开区间是不等式解集的子集，则实数a的取值范围是

2.已知复数，则z的共轭复数

3.若，，则

4.设集合，，则

5.若记，则可用a表示为

6.若不等式对所有实数x恒成立，则实数a的取值范围是

7.设平面向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是

8.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，则

9.已知复数z满足，且，则复数

10.设，若对任意，都有，则的最小值为

11.已知在△ABC中，，，，点O是△ABC的外心，若，

则

设函数是奇函数，当时，，若对任意的，

不等式都成立，则实数a的取值范围是

二.选择题

13.下列结论命题中正确的是（）

A.对任意，B.对任意且，

C.函数，的最小值是2D.函数，无最大值

14.设m是正整数，，在数列中，“且”是“是数列的最大项”的（）条件

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

15.设，函数在区间内的零点个数为（）

A.0B.1C.2D.3

16.已知向量与的夹角为120°，且，向量满足（），且，

记向量在、方向上的数量投影分别为x、y，现有两个命题：①若，则；

②的最大值为.则（）

A.①成立，②成立B.①成立，②不成立C.①不成立，②成立D.①不成立，②不成立

三.解答题

17.设，，求函数的最小正周期、单调增区间、最大值以及

取得最大值时相应x的值，并求方程在区间上的解.

18.设关于x的不等式（常数b、c为实数）的解集为A.（1）若集合，求实数b、c的值；

（2）设，，记关于x的不等式的解集为B.若“”是“”的充分条件，求实数m的取值范围.

海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系

（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为.

（1）当时，写出失事船所在位置的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；

（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？

20.已知点满足，，且点的坐标为.（1）求过点、的直线l的方程；

（2）试用数学归纳法证明：对于任意，点都在（1）中的直线l上；（3）试求数列、的通项公式.

21.设函数是定义域为闭区间（p、q，）的函数，如果存在正常数M，使得对于闭区间的任意划分：（，），不等式都成立，

则称函数为区间上的“有界变差函数”.（1）设，试判断函数是否为

区间上的“有界变差函数”？若是，求出M的最小值；若不是，说明理由；

（2）函数与均为区间上的“有界变差函数”，设，求证：函数

是区间上的“有界变差函数”；（3）设，求证：函数不是区间上的

“有界变差函数”.

交大附中2023-2024学年高二摸底考数学试卷解析