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培优点与圆有关的最值问题

高中数学中，在研究圆的相关问题时，最值问题又是研究的重点和热点，现把常见的与圆相关的最值问题总结如下.希望对学生有些启发.

类型一“圆上一点到直线距离的最值”问题

例1已知圆C经过(2，5)，(－2，1)两点，并且圆心C在直线y＝eq\f(1,2)x上.

(1)求圆C的方程；

(2)求圆C上的点到直线3x－4y＋23＝0的最大距离.

解(1)点(2，5)与点(－2，1)连线的中点为(0，3)，中垂线方程为y＝－x＋3，

联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,2)x，,y＝－x＋3，))

解得圆心坐标为(2，1)，

∴r＝5－1＝4.

∴圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝16.

(2)圆的圆心为(2，1)，半径r＝4.

圆心到直线3x－4y＋23＝0的距离

d＝eq\f(|3×2－4×1＋23|,\r(32＋（－4）2))＝5.

则圆上的点到直线3x－4y＋23＝0的最大距离为d＋r＝9.

思维升华求圆上一点到直线距离的最值问题，常转化为求圆心到定直线的距离问题来解决.

类型二“圆上一点到定点距离的最值”问题

例2已知点P(x，y)是圆x2＋y2－6x－4y＋12＝0上的一动点，求：

(1)x2＋y2的最小值；

(2)点P到直线x－y－2＝0的距离的最大值.

解将x2＋y2－6x－4y＋12＝0化为(x－3)2＋(y－2)2＝1，圆心为C(3，2)，半径r＝1.

(1)设z＝x2＋y2，

则z的几何意义为圆上的点到原点的距离的平方.

∵原点到圆心的距离d＝eq\r(32＋22)＝eq\r(13)，

∴圆上的点到原点的最小距离为eq\r(13)－1，

∴x2＋y2的最小值为14－2eq\r(13)；

(2)圆心到直线x－y－2＝0的距离d＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，

∴点P到直线x－y－2＝0的距离d的最大值为eq\f(\r(2),2)＋1.

思维升华形如(x－a)2＋(y－b)2的最值问题的实质是两点间距离的平方的最值问题.涉及与圆相关的两点的距离，总是转化为圆心与定点距离问题来解决.

类型三“过定点的弦长”问题

例3已知直线l：(3＋t)x－(t＋1)y－4＝0(t为参数)和圆C：x2＋y2－6x－8y＋16＝0.

(1)t∈R时，证明直线l与圆C总相交；

(2)直线l被圆C截得弦长最短时，求此弦长并求此时t的值.

(1)证明直线l：(3＋t)x－(t＋1)y－4＝0可化为t(x－y)＋(3x－y－4)＝0，

令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,3x－y－4＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2.))

∴直线l恒过定点A(2，2)，

把点(2，2)代入可得22＋22－12－16＋16＝－4＜0，∴点A(2，2)在圆内，

∴t∈R时，直线l与圆C总相交.

(2)解直线l被圆C截得的弦长最短时，弦心距最大，此时CA⊥l.

∵圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝9，

∴圆心C(3，4)，半径为3，

∴CA的斜率为2，

∴l的斜率为－eq\f(1,2).

∵直线l：(3＋t)x－(t＋1)y－4＝0的斜率为eq\f(3＋t,t＋1).

∴eq\f(3＋t,t＋1)＝－eq\f(1,2)，∴t＝－eq\f(7,3).

∵CA＝eq\r(1＋4)＝eq\r(5)，

∴直线l被圆C截得的弦长的最小值为

2eq\r(9－5)＝4.

思维升华当直线与圆相交时，弦长最短，需使弦心距最大，然后根据垂径定理由垂直得中点，进而利用弦长的一半、圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理解决问题.

类型四利用“数形结合方法”解决直线与圆的问题

例4已知圆C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆C上任一点.

(1)求eq\f(y－2,x－1)的最大、最小值；

(2)求x－2y的最大、最小值.

解法一(1)设k＝eq\f(y－2,x－1)，

则y－2＝kx－k，即kx－y＋2－k＝0.

∵P(x，y)为圆C上任一点，

∴圆心(－2，0)到直线kx－y＋2－k＝0的距离

d＝eq\f(|－2k＋2－k|,\r(1＋k2))＝eq\f(|2－3k|,\r(1＋k2))≤1，

即|2－3k|≤eq\r(1＋k2)，

平方得8k2－12k＋3≤0，

解得eq\f(3－\r(3),4)≤k≤eq\f(3＋\r(3),4)，

故eq\f(y－2,x－1)的最大值为eq\f(3＋\r(3),4)，最小值为eq\f(3－\r(3),4).

(2)设b＝x－2y，即x－2y－b＝0.

∵P(x，y)为圆C上任一点