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新高二开学摸底考试卷
数学·答案及评分标准
一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
B
B
C
C
A
A
C
D
C
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．
10、11、12、3013、14、15、
四、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（13分）
【详解】（1）补全的列联表如下：
不喜爱
喜爱
合计
男性
30
90
120
女性
25
55
80
合计
55
145
200
根据表中数据，计算得到，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此我们可以认为成立，即认为对该场活动的喜爱程度与性别无关．（6分）
（2）①记“戏迷甲至少正确完成其中3道题”为事件A，则
．
②的可能取值为，
，
，（10分）
的分布列为；
X
2
3
4
P
数学期望.（13分）
17．（15分）
【详解】（1）函数的定义域为R.
导函数.（3分）
所以，，
所以函数在点处的切线方程为，即.（7分）
（2）令，解得：或.列表得：
x
1
3
+
2
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以函数的单调增区间为，；单调减区间为；
的极大值为，极小值为.（15分）
18．（15分）
【详解】（1）设事件为甲恰好答对一道题，事件为乙恰好答对两道题
，
，
，
所以甲恰好答对一道题且乙恰好答对两道题的概率为．（7分）
（2）设事件为“冲锋队”最终得6分，事件为“冲锋队”最终得5分，
，
，
，
所以“冲锋队”最终得分不超过4分的概率为．（15分）
19．（16分）
【详解】（1）由题意可知，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，，
设甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则，
所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为；
（2）若甲所付的租车费用比乙所付的租车费用多2元，
则分为甲两小时以上且不超过三小时还车，且乙不超过两小时还车，
或者甲三小时以上且不超过四小时还车，且乙两小时以上且不超过三小时还车两种情况，
甲所付的租车费用比乙所付的租车费用多2元的概率为；
（3）X的可能取值为0，2，4，6，8，
，
，，
分布列如下表：
X
0
2
4
6
8
P
数学期望，
.
20．（16分）
【详解】（1）因为，则，
由可得，解得.（3分）
（2）函数的定义域为，
且，（5分）
当时，令，可得或，
①当，即时，
对任意的，，的单调递增区间为．（6分）
②当，即时，
，得或，，得，
的单调递增区间为和，单调递减区间为（7分）
③当，即时
，得或；，得，
的单调递增区间为和，单调递减区间为，（8分）
综上所述，时，函数的单调增区间为；
时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；
时，函数的单调增区间为和，单调减区间为.（9分）
（3）由，可得，即，其中，
令，，（10分）
若存在，不等式成立，则，，
，令，得，
当时，，当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
所以函数在端点或处取得最小值．（14分）
因为，，所以，
所以，所以，
因此，实数的取值范围是．（16分）
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