1.5.2　点到直线的距离.doc

1.5.2点到直线的距离

课标要求1.探索并掌握点到直线的距离公式和两条平行直线间的距离公式.

2.会求点到直线的距离与两平行直线间的距离.

一、点到直线的距离

1.思考(1)原点O到直线x＋2y－5＝0的距离是多少？

提示根据定义，原点O到直线x＋2y－5＝0的距离为原点O到直线x＋2y－5＝0的垂线段的长.设过原点O的直线x＋2y－5＝0的垂线为l′，垂足为P，则l′为2x－y＝0，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y－5＝0，①,2x－y＝0，②))

解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，))即P(1，2)，则原点O到直线x＋2y－5＝0的距离为OP＝eq\r(5).

(2)如图，在平面直角坐标系中，已知点P(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)，怎样求出点P到直线l的距离呢？

提示根据定义，点P到直线l的距离是点P到直线l的垂线段的长，

如图，过点P作l的垂线l′，垂足为Q，由l′⊥l可知l′的斜率为eq\f(B,A)，

∴l′的方程为y－y0＝eq\f(B,A)(x－x0)，

与l的方程联立方程组，解得交点

Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(B2x0－ABy0－AC,A2＋B2)，\f(A2y0－ABx0－BC,A2＋B2)))，

∴PQ＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).

2.填空点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).

温馨提醒(1)运用点到直线的距离公式时，一定要将直线方程化为一般式方程.

(2)点P(x0，y0)到直线l：y＝kx＋b的距离d＝eq\f(|kx0－y0＋b|,\r(k2＋1)).

3.做一做(多选)已知点M(1，4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离为3，则实数m的值可以为()

A.0 B.eq\f(3,4)

C.3 D.2

答案AB

解析点M到直线l的距离d＝eq\f(|m＋4－1|,\r(m2＋1))＝3，所以m＝0或m＝eq\f(3,4).

二、两条平行直线间的距离

1.思考已知两条平行直线l1，l2的方程，如何求l1与l2间的距离？

提示根据两条平行直线间距离的含义，在直线l1上任取一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线l2的距离就是直线l1与直线l2间的距离，这样求两条平行直线间的距离就转化为求点到直线的距离.

2.填空(1)两平行线间的距离是指夹在两条平行线间公垂线段的长，可以转化为点到直线的距离.

(2)两平行线间的距离公式

已知两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)，则l1，l2间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).

温馨提醒(1)两条平行直线间的距离公式适用于两条直线的方程都是一般式，并且x，y的系数分别对应相等的情况，否则必须先化为对应相等才能套用公式.

(2)两条平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离.

3.做一做两平行直线x＋y＋2＝0与x＋y－3＝0间的距离等于()

A.eq\f(5\r(2),2) B.eq\f(\r(2),2)

C.5eq\r(2) D.eq\r(2)

答案A

解析d＝eq\f(|2－（－3）|,\r(12＋12))＝eq\f(5\r(2),2).

题型一点到直线的距离

例1求过点P(1，2)且与点A(2，3)，B(4，－5)的距离相等的直线l的方程.

解法一由题意知kAB＝－4，线段AB的中点为C(3，－1)，

所以过点P(1，2)与直线AB平行的直线方程为

y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0.此直线符合题意.

过点P(1，2)与线段AB中点C(3，－1)的直线方程为eq\f(y－2,－1－2)＝eq\f(x－1,3－1)，

即3x＋2y－7＝0.此直线也符合题意.

故所求直线l的方程为4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0.

法二显然所求直线的斜率存在，

设直线方程为y＝kx＋b，

根据条件得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＝k＋b，,\f(|2k－3＋b|,\r(k2＋1))＝\f(|4k＋5＋b|,\r(k2＋1))，))

化简得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＋b＝2，,k＝－4，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＋b＝2，,3k＋b＋1＝0，))

所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－4，,b＝6，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(