1.2.3　直线的一般式方程.doc

1.2.3直线的一般式方程

课标要求1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的一般式.

2.会进行直线方程的五种形式间的转化.

1.思考直线y＝2x＋1可以化成二元一次方程吗？方程2x－y＋3＝0表示一条直线吗？

提示y＝2x＋1可以化成2x－y＋1＝0的形式，是二元一次方程，2x－y＋3＝0可以化为y＝2x＋3，可以表示直线.

2.填空(1)直线与二元一次方程的关系

①平面直角坐标系中的任意一条直线的方程都可以用关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)来表示.

②在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)都表示一条直线.

(2)直线的一般式方程

方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)叫作直线的一般式方程.

温馨提醒直线的一般式方程的结构特征

(1)方程是关于x，y的二元一次方程.

(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列.

(3)x的系数一般不为分数和负数.

(4)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程.

3.做一做与x轴平行且过点(0，6)的直线的一般式方程为()

A.x－6＝0 B.y－6＝0

C.x＋y＝6 D.x－y＝6

答案B

解析直线与x轴平行，则斜率k＝0，又直线过点(0，6)，则直线方程为y－6＝0.

题型一直线的一般式方程

例1根据下列条件求直线的一般式方程.

(1)直线的斜率为2，且经过点A(1，3)；

(2)斜率为eq\r(3)，且在y轴上的截距为4；

(3)经过两点A(2，－3)，B(－1，－5)；

(4)在x，y轴上的截距分别为2，－4.

解(1)因为k＝2，且经过点A(1，3)，

由直线的点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，

整理可得2x－y＋1＝0，

所以直线的一般式方程为2x－y＋1＝0.

(2)由直线的斜率k＝eq\r(3)，且在y轴上的截距为4，

得直线的斜截式方程为y＝eq\r(3)x＋4.

整理可得直线的一般式方程为eq\r(3)x－y＋4＝0.

(3)由直线的两点式方程可得eq\f(y－（－3）,－5－（－3）)＝

eq\f(x－2,－1－2)，整理得直线的一般式方程为2x－3y－13＝0.

(4)由直线的截距式方程可得eq\f(x,2)＋eq\f(y,－4)＝1，

整理得直线的一般式方程为2x－y－4＝0.

思维升华求直线的一般式方程的策略

(1)当A≠0时，方程可化为x＋eq\f(B,A)y＋eq\f(C,A)＝0，只需求eq\f(B,A)，eq\f(C,A)的值；当B≠0时，方程化可为eq\f(A,B)x＋y＋eq\f(C,B)＝0，只需确定eq\f(A,B)，eq\f(C,B)的值.因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程.

(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式.

训练1根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：

(1)斜率是eq\r(3)，且经过点A(5，3)；

(2)经过A(－1，5)，B(2，－1)两点；

(3)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1；

(4)经过点B(4，2)，且平行于x轴.

解(1)由点斜式，得直线方程为y－3＝eq\r(3)(x－5)，

化为一般式方程为eq\r(3)x－y－5eq\r(3)＋3＝0.

(2)由两点式，得直线方程为eq\f(y－5,－1－5)＝eq\f(x－（－1）,2－（－1）)，

化为一般式方程为2x＋y－3＝0.

(3)由截距式，得直线方程为eq\f(x,－3)＋eq\f(y,－1)＝1，

化为一般式方程为x＋3y＋3＝0.

(4)由题意，得直线方程为y＝2，化为一般式方程为y－2＝0.

题型二直线一般式方程的应用

例2设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别确定m的值：

(1)l在x轴上的截距是－3；

(2)l的斜率是－1.

解(1)当直线在x轴上的截距为－3时，

有eq\f(2m－6,m2－2m－3)＝－3，且m2－2m－3≠0，

解得m＝－eq\f(5,3).

(2)当斜率为－1时，有－eq\f(m2－2m－3,2m2＋m－1)＝－1，

且2m2＋m－1≠0，解得m＝－2.

思维升华已知含参数的直线的一般式方程求参数的值或范围的步骤

训练2直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R).

(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求a的值；

(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.

解(1)①当a＝－1时，直线l的方程为y＋3＝0，显然不符合题意