1.1　直线的斜率与倾斜角.doc

第1章直线与方程

1.1直线的斜率与倾斜角

课标要求1.了解直线的斜率和倾斜角的概念及它们之间的关系.2.掌握过两点的直线的斜率计算公式.3.了解直线的倾斜角的范围，能根据直线的倾斜角求出直线的斜率．

一、直线的斜率

1.思考(1)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，当x1≠x2时，你能用一个量来刻画直线l的倾斜程度吗？

提示可以用eq\f(y2－y1,x2－x1)的符号及大小来刻画直线l的倾斜程度．

(2)运用k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2)计算直线AB的斜率时，需要考虑A，B的顺序吗？

提示kAB＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝kBA＝eq\f(y1－y2,x1－x2)，所以直线AB的斜率与A，B两点的顺序无关．

2.填空已知两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，如果x1≠x2，那么直线PQ的斜率为k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2)；如果x1＝x2，那么直线PQ的斜率不存在.

温馨提醒(1)直线与x轴垂直时，斜率不存在，不能用斜率公式.

(2)对于与x轴不垂直的直线l，它的斜率也可以看作k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(纵坐标的增量,横坐标的增量)＝eq\f(Δy,Δx).

3.做一做已知直线l过点A(3－eq\r(3)，6－eq\r(3))，B(3＋2eq\r(3)，3－eq\r(3))，则直线l的斜率为()

A.eq\r(3) B.eq\f(\r(3),3)

C.－eq\f(\r(3),3) D.－eq\r(3)

答案C

解析因为直线l过点A(3－eq\r(3)，6－eq\r(3))，

B(3＋2eq\r(3)，3－eq\r(3))，

所以由过两点的直线的斜率公式，

得直线l的斜率

k＝eq\f(（3－\r(3)）－（6－\r(3)）,（3＋2\r(3)）－（3－\r(3)）)＝－eq\f(\r(3),3).

二、直线的倾斜角

1.思考(1)任意一条直线都有倾斜角，都有斜率，对吗？

提示不对.任意一条直线都有倾斜角，但与x轴垂直的直线没有斜率.

(2)平行于x轴的直线的倾斜角为多少？

提示0.

2.填空(1)直线的倾斜角

在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直线重合时，所转过的最小正角α也能刻画直线的倾斜程度，我们把这个角α称为这条直线的倾斜角，并规定：与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0.

倾斜角α的取值范围为{α|0≤απ}.

(2)直线的斜率与倾斜角的关系

①从关系式上看：若直线l的倾斜角为α(α≠eq\f(π,2))，则直线l的斜率k＝tan__α.

②从几何图形上看：

直线情形

α的大小

0

0αeq\f(π,2)

eq\f(π,2)

eq\f(π,2)απ

k的大小

0

k＝tan__α

不存在

k＝tan__α＝

－tan(π－α)

k的范围

0

k0

不存在

k0

温馨提醒(1)所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率.

(2)当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，但并不是该直线不存在，此时，直线垂直于x轴(或平行于y轴或与y轴重合).

3.做一做(1)已知一条直线的倾斜角α＝45°，则该直线的斜率等于()

A.eq\f(\r(2),2) B.－eq\f(\r(2),2)

C.1 D.－1

答案C

解析k＝tanα＝tan45°＝1.

(2)(多选)下列命题中，正确的是()

A.任意一条直线都有唯一的倾斜角

B.一条直线的倾斜角可以为－30°

C.倾斜角为0°的直线有无数条

D.若直线的倾斜角为α，则sinα∈(0，1)

答案AC

解析任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此A正确，B错误，C正确；D中，当α＝0°时，sinα＝0；当α＝90°时，sinα＝1，故D错误.

题型一求直线的斜率

例1经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.

(1)A(2，3)，B(4，5)；

(2)C(－2，3)，D(2，－1)；

(3)P(－3，1)，Q(－3，10).

解(1)存在.直线AB的斜率kAB＝eq\f(5－3,4－2)＝1，

即tanα＝1，又0°≤α180°，

所以倾斜角α＝45°.

(2)存在.直线CD的斜率kCD＝eq\f(－1－3,2－（－2）)＝－1，

即tanα＝－1，

又0°≤α180°，所以倾斜角α＝135°.

(3)不存在.因为xP＝xQ＝－3，所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°.

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