人教A版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第六章 平面向量及其应用 6.2.3 向量的数乘运算 (2).pptVIP

6.2.3向量的数乘运算第六章

内容索引0102基础落实?必备知识全过关重难探究?能力素养全提升03学以致用?随堂检测全达标

学习目标1.通过实例分析,掌握平面向量数乘运算及运算律,理解其几何意义.(直观想象)2.理解两个平面向量共线的含义.(直观想象)3.了解平面向量的线性运算性质,能用已知向量表示未知向量.(数学运算、直观想象)

基础落实?必备知识全过关

知识点一:向量的数乘运算定义一般地,我们规定实数λ与向量a的积是一个,这种运算叫做向量的数乘,记作?长度|λa|=?方向λ0λa的方向与a的方向?λ0λa的方向与a的方向?规定当λ=0或a=0时,λa=0向量λa|λ||a|相同相反

名师点睛(1)λa的几何意义就是把向量a沿着与a相同(λ0)或相反(λ0)的方向伸长(|λ|1)或缩短(|λ|1)到原来的|λ|倍或|λ|.(2)要注意实数与向量可以求积,但是不能进行加减运算,如2+a,1-0无意义.微思考根据向量的数乘运算,你对零向量、相反向量有什么新的认识?提示零向量可以认为是0a,即长度为0,相反向量可以认为是(-1)a,即长度相同,方向相反.

知识点二:数乘向量的运算律1.数乘向量的运算律:(1)λ(μa)=;?(2)(λ+μ)a=+;?(3)λ(a+b)=.?特别地,有(-λ)a==;λ(a-b)=.?2.向量的、、运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.对于任意向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=.?(λμ)aλaμaλa+λb-(λa)λ(-a)λa-λb加减数乘λμ1a±λμ2b

微思考已知向量a,请通过作图判断以下式子是否成立.(1)3(2a)=6a;(2)(2+3)a=2a+3a;(3)2(a+b)=2a+2b.

提示各式均成立(如图).(1)3(2a)=6a;(2)(2+3)a=2a+3a;(3)2(a+b)=2a+2b.

知识点三:向量共线定理1.向量a(a≠0)与b共线的充要条件:存在唯一一个实数λ,使.?2.要证明向量a(a≠0),b共线,只需证明存在实数λ,使得b=λa即可.b=λa

名师点睛该定理中a≠0的原因(1)若a=b=0,则实数λ存在,但λ并不唯一,此时定理不成立.(2)若b≠0,a=0,则不存在实数λ,使b=λa,此时定理也不成立.

微思考若向量e1,e2不共线,则下列各组中,向量a,b共线的有.(填序号)?①a=e1-e2,b=-2e1+2e2;③a=e1+e2,b=2e1-2e2.答案①②解析①中,b=-2a,所以a,b共线;②中,a=4b,所以a,b共线;③中,不存在λ∈R,使a=λb,所以a,b不共线.

重难探究?能力素养全提升

问题1:已知非零向量a,作出向量a+a+a和向量-a-a-a,它们的长度与方向分别是怎样的?问题2:向量数乘运算的结果是什么?长度与方向又如何规定?在数乘运算下,零向量、相反向量又可以怎样理解?

探究点一向量的线性运算问题3:类比多项式的运算,能否推出向量数乘运算的运算律?【例1】化简下列各向量表达式:

解(1)原式=18a+3b-9a-3b=9a.(2)原式=5a-4b+c-6a+4b-2c=-a-c.规律方法向量数乘运算的方法向量的数乘运算类似于多项式的代数运算,如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数.

探究点二用已知向量表示未知向量问题4:用已知向量来表示未知向量有什么意义?问题5:如何综合运用向量线性运算的几何意义,用已知向量来表示未知向量?

规律方法用已知向量表示未知向量的一般步骤

延伸探究

【例3】已知2x+3y=a,x-4y=2b,试用a,b表示x,y.规律方法转换视角,利用方程的思想,就可以化未知为已知.

变式训练

探究点三向量共线问题?

规律方法1.证明或判定三点共线的方法(1)一般来说,要判定A,B,C三点是否共线,只需看是否存在实数λ,使得(2)利用结论:若A,B,C三点共线,O为直线外一点?存在实数x,y,使2.利用向量共线求参数的方法判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ,使得b=λa(a≠0).而已知向量共线求λ,常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等,利用待定系数法建立方程,从而解方程求得λ的值.若两向量不共线,必有向量的系数为零.

探究点四向量线性运算的综合应用问题7:向量是数与形的统一体.如何利