黑龙江省牡丹江市第二高级中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷（含答案解析）.docx

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黑龙江省牡丹江市第二高级中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．若复数为纯虚数，则（????）

A． B． C． D．

2．在中，，则的长为（????）

A．1 B． C．2 D．

3．已知向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．向量在向量上的投影向量为，则（????）

A． B． C．8 D．12

5．某社区积极进行生活垃圾分类宣传，通过多种宣传形式，让环保理念深入人心.该社区居民在驿站督导员的引导下将分好类的垃圾进行投放后，可积攒积分兑换礼品，真正实现“变废为宝”.如图为某居民在2021年1月至12月每月所得积分(单位：分)统计图，则下列结论不正确的是（????）

A．月积分的众数为100分

B．月积分不低于150分的月份占比约为41.7%

C．月积分的中位数为4月份对应的积分

D．1月至6月的月积分的方差小于7月至12月的月积分的方差

6．一个圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的2倍，若该圆锥的体积为，则该圆锥的母线长为（????）

A．3 B． C．6 D．

7．某比赛为甲、乙两名运动员制定下列发球规则，规则一：投掷1枚质地均匀的硬币，出现正面向上，甲发球，否则乙发球；规则二：从装有质地均匀的2个红球与2个黑球的布袋中随机取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球；规则三：从装有质地均匀的3个红球与1个黑球的布袋中随机取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球．则对甲、乙公平的发球规则是（???）

A．规则一和规则二 B．规则二和规则三

C．规则一和规则三 D．只有规则一

8．动点在正方体从点开始沿表面运动，且与平面的距离保持不变，则动直线与平面所成角正弦值的取值范围是（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．下列叙述错误的是（????）

A．用抽签法从件产品中选取件进行质量检验是简单随机抽样

B．若事件发生的概率为，则

C．甲、乙、丙三位同学争着去参加一个公益活动，抽签决定谁去，则先抽的概率大些

D．对于任意两个事件和，都有

10．下列关于向量，，的运算，一定成立的有（????）

A． B．

C． D．

11．南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积，可用公式（其中a、b、c、S为三角形的三边和面积）表示．在中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，若，且，则下列命题正确的是（????）

A．面积的最大值是 B．

C． D．面积的最大值是

三、填空题

12．已知一组数据按从小到大的顺序排列为：，且其中位数是31，则数据的第60百分位数是.

13．设，为实数，且，虚数为方程的一个根，则的最大值为.

14．米斗是我国古代称量粮食的量器，是官仓、粮栈、米行及地主家里必备的用具，其外形近似一个正四棱台.米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化的味，如今也成为了一种颇具意趣的藏品.已知一个斗型工艺品上下底面边长分别为和，侧棱长为，则其外接球的体积为.

??

四、解答题

15．已知：如图，四棱锥，平面，四边形是平行四边形，为中点，.

(1)求证：平面；

(2)求证：.

16．在中，分别为内角的对边，且．

(1)求角A的大小；

(2)设角A的内角平分线交于点，若的面积为，求的值．

17．某班共50名学生，根据他们一次平时测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图．已知分数为的矩形面积为0.16．

??

(1)求分数在内的学生人数并计算这次测试的平均成绩；

(2)以频率估计概率，已知在全校学生中采用分层抽样在和范围内共抽取了5人，求从这5人中随机选取2人，这2人中至少有1人分数在内的概率．

18．在一次射击游戏中，规定每人最多射击3次；在A处击中目标得3分，在B，C处击中目标均得2分，没击中目标不得分；某同学在A处击中目标的概率为，在B，C处击中目标的概率均为，该同学依次在A，B，C处各射击一次，各次射击之间没有影响，求在一次游戏中：

(1)该同学得4分的概率；

(2)该同学得分不超过3分的概率.

19．如图，正三棱柱的所有棱长都为2，为中点．

（1）求证：面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）求点到平面的距离．

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