经典证明题：全等三角形-(含答案).doc

经典证明题：全等三角形(含答案)

1.:AB=4.AC=2.D是BC中点，AD是整数.求AD

解:延长AD到E,使AD=DE

∵D是BC中点

∴BD=DC

在△ACD和△BDE中

AD=DE

∠BDE=∠ADC

EBD=DC

E

∴△ACD≌△BDE

∴AC=BE=2

∵在△ABE中

AB-BE＜AE＜AB+BE

∵AB=4

即4-2＜2AD＜4+2

1＜AD＜3

∴AD=2

2.：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：CD=1

P证明：延长CD于P，使D为CP中点。连接AP,BP

P

∵DP=DC,DA=DB

∴ACBP为平行四边形

又∠ACB=90°

∴平行四边形ACBP为矩形

∴AB=CP

∴CD=12

3.：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2

证明：连接BF和EF

∵BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF

∴△BCF≌△EDF〔边角边)

∴BF=EF,∠CBF=∠DEF

连接BE

在△BEF中，BF=EF

∴∠EBF=∠BEF.

∵∠ABC=∠AED.

∴∠ABE=∠AEB.

∴AB=AE.

在△ABF和△AEF中

AB=AE，BF=EF

∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF

∴△ABF≌△AEF

∴∠BAF=∠EAF(∠1=∠2)

4.：∠1=∠2，CD=DE，EF∥AB,求证：EF=AC

证明：过C作CG∥EF交AD的延长线于点G

CG∥EF，可得∠EFD=∠CGD

GDE=DC

G

∠FDE=∠GDC〔对顶角〕

∴△EFD≌△CGD

EF=CG

∠CGD=∠EFD

又，EF∥AB

∠EFD=∠1

∠1=∠2

∴∠CGD=∠2

∴△AGC为等腰三角形.

AC=CG

又EF=CG

∴EF=AC

5.:AD平分∠BAC.AC=AB+BD.求证:∠B=2∠C

证明:延长AB取点E,使AE=AC,连接DE

∵AD平分∠BAC

∴∠EAD=∠CAD

∵AE=AC,AD=AD

∴△AED≌△ACD(SAS)

∴∠E=∠C

∵AC=AB+BD

∴AE=AB+BD

∵AE=AB+BE

∴BD=BE

∴∠BDE=∠E

∵∠ABC=∠E+∠BDE

∴∠ABC=2∠E

∴∠ABC=2∠C〔即∠B=2∠C〕

F6.:AC平分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°,求证:AE=AD+BE

F

证明：在AE上取F.使EF=EB.连接CF

∵CE⊥AB

∴∠CEB=∠CEF=90°

∵EB=EF.CE=CE.

∴△CEB≌△CEF

∴∠B=∠CFE

∵∠B+∠D=180°,∠CFE+∠CFA=180°

∴∠D=∠CFA

∵AC平分∠BAD

∴∠DAC=∠FAC

∵AC=AC

∴△ADC≌△AFC(AAS)

∴AD=AF

∴AE=AF+FE=AD+BE

ED7.如图.四边形ABCD中.AB∥DC.BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD.且点E在AD上。求证:BC=AB+DC。

E

D

A证明：在BC上截取BF=AB.连接EF

A

∵BE平分∠ABC

BC∴∠ABE=∠FBE

B

C

F又，∵BE=BE

F

∴△ABE≌△FBE(SAS)

∴∠A=∠BFE

∵AB//CD

∴∠A+∠D=180°

∵∠BFE+∠CFE=180°

∴∠D=∠CFE

又，∵∠DCE=∠FCE

CE平分∠BCD

CE=CE

∴△DCE≌△FCE(AAS)

∴CD=CF

∴BC=BF+CF=AB+CD

8.己知:AB∥ED,∠EAB=∠BDE,AF=CD,EF=BC.求证:∠F=∠C

证明：AB//ED，得：∠EAB+∠AED=∠BDE+∠ABD=180。

∵∠EAB=∠BDE.

∴∠AED=∠ABD.

∴四边形ABDE是平行四边形。

∴得：AE=BD

∵AF=CD，EF=BC

E∴△AEF≌△DBC

E

∴∠F=∠C

9.：AB=CD,∠A=∠D,求证：∠B=∠C

证明:设线段AB，CD所在的直线交于E,(当ADBC时，E点是射线BA、CD的交点，当ADBC时，E点是射线AB、DC的交点〕。那么△AED是等腰三角形。

∴AE=DE

而AB=CD

∴BE=CE(等量加等量，或等量减等量〕

∴△BEC是等腰三角形

∴∠B=∠C

10.P是∠BAC平分线AD上一点，ACAB，求证：PC﹣PBAC﹣AB

E证明：在AC上取点E，使AE=AB，并连接PE

E

∵AE=ABAP=AP∠EAP=∠BAP

∴△EAP≌△BAP

∴PE=PB

PCEC+PE

∴PC(AC－AE)＋PB

∴PC－PBAC－AB

A11.∠ABC=3∠C,∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC－AB=2BE