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在中国大学生数学建模竞赛（Chinaundergraduatemathematicalcontestinmodeling,CUMCM）中，曾经出现过大量的优化建模赛题.本章从中选择了部分典型赛题，举例分析其优化建模过程，说明如何应用LINDO/LINGO软件包求解这些赛题.
12.1一个飞行管理问题
12.1.1问题描述
1995年全国大学生数学建模竞赛中的A题（“一个飞行管理问题”）.
在约10000m高空的某边长为160km的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行.区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理.当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时，记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞.如果会碰撞，则应计算如何调整各架（包括新进入的）飞机飞行的方向角，以避免碰撞.现假定条件如下：
不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8km；
飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30°；
所有飞机飞行速度均为800km/h；
进入该区域的飞机在到达该区域边缘时，与该区域内的飞机的距离应在60km以上；
最多需考虑6架飞机；
不必考虑飞机离开此区域后的状况.
请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型，列出计算步骤，对以下数据进行计算（方向角误差不超过0.01°），要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小.
设该区域4个顶点的坐标为（0，0），（160，0），（160，160），（0，160）.记录数据见表12-1.
表12-1飞机位置和方向角记录数据
飞机编号
横坐标
纵坐标
方向角
飞机编号
横坐标
纵坐标
方向角
1
150
140
243
4
145
50
159
2
85
85
236
5
130
150
230
3
150
155
220.5
新进入
0
0
52
说明：方向角指飞行方向与ｘ轴正向的夹角.
试根据实际应用背景对你的模型进行评价和推广.
12.1.2模型1及求解
模型建立
这个问题显然是一个优化问题.设第ｉ架飞机在调整时的方向角为QUOTE（题目中已经给出），调整后的方向角为QUOTE=QUOTE+QUOTE（QUOTE=1,2,…，6）.题目中就是要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小，因此优化的目标函数可以是
QUOTE. （1）
为了建立这个问题的优化模型，只须要明确约束条件就可以了.一个简单的约束是飞机飞行方向角调整的不应超过30°，即
|QUOTE|QUOTE30°. (2)
题中要求进入该区域的飞机在到达该区域边缘时，与该区域内飞机的距离应在60km以上，这个条件是个初始条件，很容易验证目前所给数据是满足的，因此本模型中可以不予考虑.剩下的关键是要满足题目中描述的任意两架飞机不碰撞的要求，即任意两架位于该区域内的飞机的距离应大于8km.但这个问题的难点在于飞机是动态的，这个约束不好直接描述，为此我们首先需要描述每架飞机的飞行轨迹.
记飞机飞行速率为v（=800km/h）,以当前时刻为0时刻.设第ｉ架飞机在调整时的位置坐标为（QUOTE，QUOTE）（已知条件），t时刻的位置坐标为（QUOTE，QUOTE），则
QUOTE=QUOTE+QUOTE，QUOTE=QUOTE+QUOTE.
如果要严格表示两架位于该区域内的飞机的距离应大于8km，则需考虑每架飞机在该区域内的飞行时间的长度.记QUOTE为第ｉ架飞机飞出去与的时刻，即
QUOTE=QUOTEargmin{t0:QUOTE+QUOTE=0或160， （4）
或者QUOTE+QUOTE=0或160}. （5）
记t时刻第ｉ架飞机与第ｊ架飞机的距离为QUOTE（t），并记QUOTE（t）=QUOTE-64，这时在该区域内飞机不相撞的约束条件就变成了
QUOTE（t）=QUOTE-64QUOTE0（0QUOTEtQUOTE）.
其中
QUOTE=min{QUOTE，QUOTE}. (6)
此外，经过计算，可以得到
QUOTE（t）=QUOTE
+QUOTE-64
=QUOTE+QUOTE+QUOTE， （7）
其中
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