2023—2024学年上海市古美高级中学高一下学期期末考试数学试卷.docVIP

2023—2024学年上海市古美高级中学高一下学期期末考试数学试卷

一、填空题

(★)1.已知角的终边经过点，则_________.

(★)2.在中，若角A、B、C成等差数列，则角__________.

(★)3.复数（是虚数单位）的虚部是__________.

(★)4.在复平面上，复数，对应的点分别为A、B，O为坐标原点，则_________.

(★)5.若数列为等差数列，，，则_________.

(★)6.在中，内角所对的边分别为，且满足，则角B的大小为________.

(★★)7.已知复数，，，若为纯虚数，则的值是______________．

(★★)8.已知向量，，则在方向上的投影向量为__________.

(★★)9.已知数列的通项公式为，则_________.

(★★★)10.已知复数满足，则的取值范围是__________.

(★★)11.若A、B、C三点共线，对任意一点O，有成立，则__________.

(★★★)12.设函数在上恰有两个零点，则__________.

二、单选题

(★★)13.下列函数为奇函数，且在上是严格增函数的是（）

A．

B．

C．

D．

(★)14.用数学归纳法证明等式，当时，等式左端应在的基础上加上（）

A．

B．

C．

D．

(★★)15.已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)16.已知正方形的边长为4，点、分别在边、上，且，，若点在正方形的边上，则的取值范围是（）

A．

B．

C．

D．

三、解答题

(★★)17.如图，在平行四边形中，点是的中点，是的三等分点.，设.

(1)用表示；

(2)如果，用向量的方法证明：.

(★★★)18.已知等比数列的前项和为，若，公比.

(1)求数列的通项公式；

(2)求前项和：；

(★★)19.已知关于的实系数一元二次方程.

(1)若方程有一个根（是虚数单位），求的值；

(2)若方程有两虚根，且，求的值.

(★★★)20.已知向量，且，

(1)求函数在上的单调递减区间；

(2)已知的三个内角分别为，其对应边分别为，若有，，求面积的最大值.

(★★★★)21.对于集合且，定义且.集合A中的元素个数记为，当时，称集合A具有性质.

(1)判断集合是否具有性质，并说明理由；

(2)设集合，且具有性质，若中的所有元素能构成等差数列，求的值；

(3)若集合A具有性质，且中的所有元素能构成等差数列，问：集合A中的元素个数是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.