2023—2024学年四川省成都市成华区高一下学期7月期末考试数学试卷.docVIP

2023—2024学年四川省成都市成华区高一下学期7月期末考试数学试卷

一、单选题

(★★)1.若为纯虚数，则实数（）

A．

B．2

C．

D．1

(★★)2.已知向量，，且，则实数k等于（）

A．

B．4

C．0

D．

(★★)3.已知m，n是两条不同直线，，，是三个不同平面，则下列命题中正确的是（）

A．若，，则

B．若，，则

C．若，，则

D．若，，则

(★)4.如图，在正方体中，点M，N分别为线段AC和线段的中点，求直线MN与平面所成角为（）

A．60°

B．45°

C．30°

D．75°

(★★)5.已知，则的值为（）

A．

B．

C．

D．

(★★)6.设，为单位向量，在方向上的投影向量为，则（）

A．1

B．2

C．

D．

(★★)7.筒车亦称“水转筒车”，一种以水流作动力，取水灌田的工具，如图是某公园的筒车，假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针方向匀速圆周运动．现有一半径为2米的筒车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水筒距离水面的高度（单位：米，记水筒在水面上方时高度为正值，在水面下方时高度为负值）与转动时间（单位：秒）满足函数关系式，，且时，盛水筒位于水面上方米处，当筒车转动到第秒时，盛水筒距离水面的高度为（）米．

A．

B．

C．

D．

(★★★★)8.已知角，满足，，则的值为（）

A．

B．

C．

D．

二、多选题

(★★★)9.已知复数的共轭复数为，则下列命题正确的是（）

A．

B．为纯虚数

C．

D．

(★★)10.函数的图象如图所示，则（）

A．的最小正周期为

B．的图象关于直线对称

C．是奇函数

D．若在上有且仅有两个零点，则实数

(★★★★)11.设点D是所在平面内一点，O是平面上一个定点，则下列说法正确的有（）

A．若，则D是BC边上靠近B的三等分点

B．若，（且），则直线AD经过的垂心

C．若，且x，，，则是面积的一半

D．若平面内一动点P满足，（且），则动点P的轨迹一定通过的外心

三、填空题

(★★)12.已知平面向量，满足，，，则向量，夹角的余弦值为______．

(★★★)13.若时，曲线与的交点个数为______．

(★★★★)14.已知菱形ABCD的边长为2，．将沿着对角线AC折起至，连结．设二面角的大小为，当时，则四面体的外接球的表面积为______．

四、解答题

(★★)15.设向量与不共线．

(1)若，，若，，，求实数k的值；

(2)若，，，求证：A，B，C三点共线．

(★★★)16.设函数.

（1）求函数的单调递增区间；

（2）当时，求函数的值域.

(★★★)17.如图，在中，是边的中点，与交于点.

(1)求和的长度；

(2)求.

(★★★)18.如图，正四棱锥，，，P为侧棱上的点，且，

(1)求正四棱锥的表面积；

(2)求点到平面的距离；

(3)侧棱上是否存在一点E，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由.

(★★★★★)19.如图1，由射线PA、PB、PC构成的三面角，，，，二面角的大小为，类比于平面三角形中的余弦定理，我们得到三维空间中的三面角余弦定理：．

(1)如图2，在三棱锥中，点M是点B在平面APC中的投影，，连接MD，，，，，．

①求平面APC与平面BPC所成的角的正弦值；

②求三棱锥体积的最大值；

(2)当、、时，请在图1的基础上，试证明三面角余弦定理．