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一类二阶变系数线性微分方程解题方法探究

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黄梅花

[摘??????要]?二阶线性微分方程在常微分方程理论中占有重要的地位。一般求解常系数线性微分方程的方法包括特征根法、比较系数法和拉普拉斯变换法等，但二阶变系数线性微分方程却没有一般的方法进行求解。利用解微分方程的重要方法——常数变易法，给出一类二阶变系数线性微分方程通解的求法和结论，经过探究证明方法和结论是可行的。

[关??键??词]?二阶变系数线性微分方程;解题方法;通解

[]?O175???????[文献标志码]?A?????????[]?2096-0603（2019）22-0194-02

形如y+p（x）y+q（x）y=f（x）的微分方程，称为二阶线性微分方程，其中p（x），q（x），f（x）是已知函数。当f（x）≠0时，称方程为二阶非齐次线性微分方程;当p（x），

q（x）为常数时，称方程为二阶常系数线性微分方程;当f（x）=0时，称方程为二阶齐次线性微分方程;称方程为二阶变系数线性微分方程的条件则是p（x），q（x）为非常数。我们知道，其中p，q是常数的二阶常系数齐次线性微分方程y+p（x）y+q（x）y=f（x），（1）。当（1）的特征方程r2+py+q=0的两个根r1，r2为两个相等的实根，即r1=r2=r时，（1）的通解为y=（C1+C2x）erx，其中y1=erx，y2=xerx分别为（1）的两个特解。利用上述结果，对一类二阶变系数齐次线性微分方程[k（x）y′]′+p（x）y′+q（x）y=0，（2）其中k（x），p（x），q（x）是关于x的函数，通过常数变易法给出了其通解的表达式。下面我们主要探讨二阶变系数线性微分方程的通解，因为对二阶常系数线性微分方程的通解已经有了一般的计算方法，当然下面的定理也适用于二阶常系数线性微分方程。

一、两个定理及其证明

定理一：若y1为二阶齐次线性微分方程y+p（x）y+q（x）y=0的特解，则二阶非齐次线性微分方程y+p（x）y+q（x）y=f（x）的通解为：

Y=c1y1+c2y2∫e-∫p（x）dxdx+y1∫[∫

y1f（x）e-∫p（x）dxdx]dx

分析过程如下：对方程y+p（x）y+q（x）y=f（x）的通解问题，我们由教材中的定理可知：若y1和y2是方程y+p（x）y+q（x）y=0的两个线性无关的特解，y0是方程y+p（x）y+q（x）y=f（x）的特解，则y=C1y1+C2y2+y0是方程y+p（x）y+q（x）y=f（x）的通解。所以方程y+p（x）y+q（x）y=f（x）的通解问题，就转化成求y2和y0，即两个特解的问题。我们下面用常数变易法求解。

证明（1）令y2=C1（x）y1（C1（x）为待定函数，且C1（x）非常数）是y+p（x）y+q（x）y=0的另一个特解，显然y1和y2线性无关。我们求导，可得y2=c1（x）y1+c1（x）y1，Y2=c1（x）y1+2c1（x）y1+c（x）y1，将其代入方程y+p（x）y+q（x）y=0，整理可得：c1（x）y1+（p（x）y1+2y1）c1（x）+（y1+p（x）y1+q（x）y1）c1（x）=0已知y1为二阶齐次线性微分方程y1+p（x）y1+q（x）y=0的特解，故y1+p（x）y1+q（x）y1=0，代入上式，有c1（x）y1+（p（x）y1+2y1）ci（x）=0。

这是一个关于C1（x）的分离变量的微分方程，用分离变量法，得到：

C1（x）=e∫-p（x）dxdx积分可得：c1（x）=∫e∫-p（x）dxdx

所以y2=y1∫e∫-p（x）dxdx是y+p（x）y+q（x）y=0的另一个特解，并且与y1线性无关。

（2）令y0=c2（x）y1（c2（x）为待定函数）是y+p（x）y+q（x）y=f（x）的一个特解，求导可得：yo=c2（x）y1+c2（x）y1

y0=c2（x）y1+2c2（x）y1+c2（x）y1将其代入方程y+p（x）y+q（x）y=f（x），整理可得：

C2（x）y1+（p（x）y1+2y1）c2（x）+（y1+p（x）y1+q（x）y1）c2（x）=f（x）化简可得：c2（x）y1+（p（x）y1+2y1）c2（x）=f（x）即c2（x）+（p（x）+）c2（x）=这是一个关于c2（x）的一阶线性微分方程，由常数变易法可得：c2（x）=∫y1f（x）e∫p（x）dxdx

積分可得：c2（x）=∫[∫y1f（x）e∫p（x）dxdx]dx

所以y0=∫[∫y1f（x）e∫p（x）dxdx]dx是方程y+p（x）y+q（x）y=f（x）的一个特解。

由教材所学方程y+p（x）y+q（x）y=f（x）的通解为y=c1y1+c2y2+y0，