江苏省常州市教育学会学业水平监测2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题及答案.docx

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江苏常州教育学会学业水平监测2020～2021学年下学期期中考试

高一数学试题

2021．4

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

1．函数的最小正周期是

A．B．C．D．

2．在△ABC中，sinA：sinB：sinC＝2：3：4，则△ABC的最小内角的余弦值为

A．B．C．D．

3．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则的解析式可以是

A．B．

C．D．

4．欧拉公式（i为虚数单位，e为自然对数的底数）是由瑞士著名数学家欧拉给出的，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式，表示的复数在复平面中对应的点位于

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

5．已知向量(cos，sin)与向量(1，3)共线，则tan2＝

A．﹣3B．3C．D．

6．若，且，（其中kZ），则＝

A．B．C．2D．﹣2

7．边长为2的菱形ABCD中，M为边CD的中点，若＝2，则＝

A．1B．3C．D．

8．在△ABC中，B＝，D为BC边上一点，AD＝，AC＝7，CD＝4，则AB＝

A．B．C．D．

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，?共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

9．设向量＝(k，2)，＝(1，﹣1)，则下列命题中正确的有

A．的最小值为3B．的最小值为3

C．若∥，则k＝﹣2D．若⊥，则k＝2

10．设，是复数，则下列命题中正确的有

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，，则

11．若函数，则

A．的最大值是4B．的最小正周期是

C．的图象关于直线对称D．在区间[，]上单调递减

12．设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，下列条件中，可以判定△ABC一定为等腰三角形的有

A．acosA＝bcosBB．acosB＝bcosAC．bsinB＝csinCD．sinA＝2sinBcosC

三、填空题（本大题共4小题，?每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）

13．在平面直角坐标系xOy中，角，的始边均为x轴的正半轴，若点P(5，m)，Q(5，12)分别在，的终边上，则实数m的值是．

14．在平面四边形ABCD中，AB＝，BC＝，AB⊥AD，AC⊥CD，AD＝3AC，则AD＝．

15．笛卡尔坐标系是直角坐标系与斜角坐标系的统称，如图，在平面斜角坐标系xOy中，两坐标轴的正半轴的夹角为60°，，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量，则称有序实数对(x，y)为在该斜角坐标系下的坐标．若向量，在该斜角坐标系下的坐标分别为(3，2)，(2，k)，当k＝时，＝11．

16．用sin表示sin3，则sin3＝；利用该等式并结合sin54°＝cos36°，可得sin18°＝．（第一空2分，第二空3分）

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）

已知平面向量，满足＝2，＝3，，的夹角为45°．

（1）求；

（2）求．

18．（本小题满分12分）

已知定义在R上的函数(A＞0，＞0，)在x＝时取到最大值，的最小的正的零点为．

（1）求的解析式；

（2）若关于x的方程在区间[0，]上有实根，求实数m的取值范围．

19．（本小题满分12分）

已知虚数z满足＝2，i为虚数单位．

（1）若是纯虚数，求z；

（2）求证：为纯虚数．

20．（本小题满分12分）

在△ABC中，a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，sin2A＋sin2B﹣sin2C＝sinAsinB．

（1）求C；

（2）若2sinA﹣sinB＝，求cosA．

21．（本小题满分12分）

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，AB＝8，CD＝14，点M，N分别在线段AD，AC上（均不与A重合），且AM＝AN，．

（1）求tan∠CAD；

（2）求边BC的长．

22．（本小题满分12分）

已知有半径为r，圆心角为（其中为给定的锐角）的扇形铁皮OMN，现利用这块铁皮并根据下列方案之一，裁剪出一个矩形．

方案1：如图1，裁剪出的矩形ABCD的顶点A，B在线段ON上，点C在弧MN上，点D在线段OM上；

方案2：如图2，裁剪出的矩形PQRS的顶点P，S分别在线段OM，ON上，顶点Q，R在弧MN上，并且满足PQ∥RS∥OE，其中点E为弧MN的中点．

（1）按照方案1裁剪，设∠NOC＝，用表示矩形ABCD的面积，并求出其最大面积；

（2）按照方案2裁剪，求矩形PQRS的最大面积，并与（