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第六章平面向量及其应用

第一节平面向量的概念

1、在数学中，我们把既有大小也有方向的量叫做向量；而把只有大小没有方向的量叫做数量。

2、向量的几何表示：向量可以用有向线段来表示。有向线段的长度表示向量的大小，向量的大小，也就是向量的长度；箭头所指的方向表示向量的方向。

3、有向线段的定义：若规定线段AB的端点A为起点，B为终点，则线段就具有了从起点A到终点B的方向和长度。这种具有方向和长度的线段叫做有向线段。

有向线段的三要素：起点、方向、长度。

4、向量的分类：①单位向量：长度等于1个单位的向量；②长度为0的向量叫做零向量，记作0；③平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。平行向量也叫做共线向量；零向量与任一向量平行；④相等向量：长度相等且方向相同的向量。

第二节平面向量的运算

1、向量加法运算：

①三角形法则的特点：首尾相连．

②平行四边形法则的特点：共起点．

③向量加法三角形不等式：，原因是：三角形构成条件。

④运算性质：交换律：；结合律：；=3\*GB3③．

向量减法三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．

3、向量数乘运算：

实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作．

=1\*GB3①；

=2\*GB3②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，．

运算律：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③．

向量的加减数乘运算称为向量的线性运算，向量的线性运算的结果仍是向量。

4、向量共线定理：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使．

5、

21、平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使．（不共线的向量、作为这一平面内所有向量的一组基底）

22、分点坐标公式：设点是线段上的一点，、的坐标分别是，，当时，点的坐标是．（当

23、平面向量的数量积：

=1\*GB2⑴．零向量与任一向量的数量积为．

=2\*GB2⑵性质：设和都是非零向量，则=1\*GB3①．=2\*GB3②当与同向时，；当与反向时，；或．=3\*GB3③．

=3\*GB2⑶运算律：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③．

=4\*GB2⑷坐标运算：设两个非零向量，，则．

若，则，或．设，，则．

设、都是非零向量，，，是与的夹角，则．

第七章复数

第一节复数的概念

1、我们把形如a+bi（a,b∈R）的数叫做复数。其中i叫做虚数单位，i2=-1,全体复数所构成的集合C=｛a+bi︳a,b∈R｝叫做复数集。

2、复数通常用字母z表示，即z=a+bi（a,b∈R），a叫做复数z的实部，b叫做虚部。

3、两个复数a+bi和c+di相等的条件：a=c且b=d。即：a+bi=c+dia=c且c=d(a,b,c,d∈R)

4、当b=0时，z=a+bi是实数；当b≠0时，z=a+bi是虚数；a=0且b≠0时，z=a+bi是纯虚数

5、复数的几何意义

几何意义1：复数z=a+bi与复平面内的点Z(a,b)是一一对应关系。即：每一个复数，在复面内有唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应。

几何意义2:复数z=a+bi与复平面内以原点为起点的向量OZ是一一对应关系。即：向量OZ由点Z唯一确定；点Z也可以由向量OZ唯一确定。

根据复数的几何意义，为方便起见，我们常把复数z=a+bi说成点Z或说成向量OZ。

6、复数的模

把向量OZ的模(向量的长度)叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作∣z∣或∣a+bi∣.即∣z∣=∣a+bi∣=根号下a2+b2

7、共轭复数：一般地，当两个复数实部相同，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫作共轭虚数；复数z的共轭复数用z表示，即如果z=a+bi，那么z=a-bi.

第二节复数的四则运算

设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)，则：

1、复数的加法法则：z1+z2=（a+bi）+（c+di）=（a+c）+(b+d)i

复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行。

2、复数的减法法则：z1-z2=（a+bi）-（c+di）=（a-c）+(b-d)i

3、复数的乘法法则：z1.z2=(a+bi)(c+di)＝（ac-bd）+(ad+b