人教A版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第8章 立体几何初步 学习单元6 8.6.3 平面与平面垂直.pptVIP

;学习目标;基础落实·必备知识全过关;;知识点一:二面角

1.二面角:;2.二面角的平面角:;微思考

1.平面几何中,“角”是如何定义的?;知识点二:平面与平面垂直的定义

一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直,记作α⊥β.

微思考

如何画两个相互垂直的平面?;知识点三:平面与平面垂直的判定定理;名师点睛

1.判定定理可简述为“线面垂直,则面面垂直”.因此要证明平面与平面垂直,可转化为寻找平面的垂线,即证线面垂直.

2.两个平面互相垂直的判定定理不仅是判定两个平面互相垂直的依据,而且是找出与一个平面垂直的另一个平面的依据.

3.此定理有一个推论:a∥α,a⊥β?α⊥β.在做选择、填空题时可直接应用.;微思考

在如图所示的长方体中,AA与平面ABCD有什么位置关系?AA在长方体的哪几个面内?这几个面与底面ABCD有什么位置关系?;知识点四:平面与平面垂直的性质定理;微思考

思考下列说法是否正确,并说明理由.

(1)已知两个平面垂直,则一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线.

提示错误,两个平面垂直,一个平面内的已知直线与另一个平面的直线可能平行、相交或为异面直线.

(2)已知两个平面垂直,则一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线.

提示正确.;(3)已知两个平面垂直,则过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面.

提示错误,如果该点在交线上,过交线上一点作垂线不一定垂直于另一个平面.;;问题1若α,β为两个不同的平面,且α⊥β,α∩β=a,则β内任意一条直线b与a有什么位置关系?相应地,直线b与平面α有什么位置关系?为什么?

问题2设平面α⊥平面β,点P在平面α内,过点P作平面β的垂线a,直线a与平面α具有什么位置关系?;;证明(方法一)∵∠BSA=∠CSA=60°,SA=SB=SC,

∴△ASB和△ASC是等边三角形,则有SA=SB=SC=AB=AC,

令其值为a,则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形.

取BC的中点D,如图所示,连接AD,SD,则AD⊥BC,SD⊥BC,

∴∠ADS为二面角A-BC-S的平面角.

在Rt△BSC中,∵SB=SC=a,;(方法二)∵∠BSA=∠CSA=60°,SA=SB=SC,

∴△ASB和△ASC是等边三角形,

则有SA=SB=SC=AB=AC,

∴△ABC与△SBC全等,在△ABC中,??BC边的中点D,;延伸探究在本例中,若SA=SB=SC=2,其他条件不变,如何求三棱锥S-ABC的体积呢?;规律方法证明平面与平面垂直的方法

(1)利用定义:证明二面角的平面角为直角,其判定的方法是:

①找出两相交平面的平面角;

②证明这个平面角是直角;

③根据定义,这两个相交平面互相垂直.

(2)利用面面垂直的判定定理:

要证面面垂直,只需证线面垂

直,即在其中一个平面内寻找

一条直线与另一个平面垂直.

这是证明面面垂直的常用方

法,其基本步骤是:;;解析(1)∵PA⊥平面ABCD,

∴AB⊥PA,AD⊥PA.

∴∠BAD为二面角B-PA-D的平面角.

又由题意∠BAD=90°,

∴二面角B-PA-D的平面角的大小为90°.

(2)∵PA⊥平面ABCD,∴AB⊥PA,AC⊥PA.

∴∠BAC为二面角B-PA-C的平面角.

又四边形ABCD为正方形,∴∠BAC=45°.

即二面角B-PA-C的平面角的大小为45°.;延伸探究在本例题设条件不变的情况下,若PA=AD,求平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小.;规律方法1.求二面角的平面角的大小的步骤;2.作二面角的平面角的常用方法

(1)定义法.在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图①,则∠AOB为二面角α-l-β的平面角.

(2)垂面法.过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.如图②,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.

(3)垂线法.过二面角的一个面

内异于棱上的A点向另一个平

面作垂线,垂足为B,由点B向二

面角的棱作垂线,垂足为O,连

接AO,则∠AOB为二面角的平

面角或其补角.如图③,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.;;证明在平面VAB内,过点A作AD⊥VB于点D.

∵平面VAB⊥平面VBC,且交线为VB,

∴AD⊥平面VBC.∴AD⊥BC.

∵VA⊥平面ABC,∴VA⊥BC.

∵AD∩VA=A,且VA?平面VAB,AD?平面VAB,

∴BC⊥平面VAB.

∵AB?平面VAB,∴AB⊥BC.;延伸探究本例中的已知换为“平面VAB⊥平面ABC,平面VAC⊥平面ABC,CA⊥AB”.试证:VA⊥BC.;规