人教A版高中同步学案数学选择性必修第一册精品课件 第1章 空间向量与立体几何 1.4.1 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示.pptVIP

1.4.1第1课时空间中点、直线和平面的向量表示第一章空间向量与立体几何

课程标准1.能用向量语言表述直线和平面.2.理解直线的方向向量与平面的法向量.3.会求直线的方向向量与平面的法向量.

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基础落实·必备知识一遍过

知识点空间中点、直线和平面的向量表示1.点的位置向量在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量来表示.我们把向量称为点P的位置向量.如图.既包含方向,也包含距离

2.空间直线的向量表示式①式和②式都称为的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上及直线的唯一确定.?空间直线一点方向向量

3.空间平面的向量表示式如图,取定空间任意一点O,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式.由此可知,空间中任意平面由空间及唯一确定.?一点两个不共线向量

4.平面的法向量如图,直线l⊥α,取直线l的方向向量a,我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为的平面完全确定,可以表示为集合{P|a·=0}.法向量

名师点睛思考辨析平面的法向量有几个?它们的关系是怎样的?提示平面的法向量有无数个,它们是平行向量.

自主诊断1.[人教B版教材习题]已知点A(3,4,5),B(3,4,0),,且O为坐标原点,求点C的坐标.

2.[人教B版教材习题]设(2,-2,1),(3,-3,1)是空间直线l上的点,求直线l的一个方向向量.解设A(2,-2,1),B(3,-3,1)是空间直线l上的点,3.[北师大版教材习题]分别写出Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面的一个法向量的坐标.解平面Oxy,平面Oyz,平面Ozx的一个法向量的坐标分别为(0,0,1),(1,0,0),(0,1,0).(答案不唯一)

重难探究·能力素养速提升

探究点一求空间中点的坐标【例1】[北师大版教材例题]在空间直角坐标系中,已知点A(1,1,0),B(2,3,3),C(0,1,2),点D为直线AB上的一点,且CD⊥AB,求.

规律方法求空间中点的坐标的方法方法一:设出点P的坐标(x,y,z),列方程组求解.方法二:根据向量的线性运算求(O为原点)的坐标,根据的坐标即可得到点P的坐标.

变式训练1若A(3,2,4),B(1,2,-8),点C在线段AB上,且,则点C的坐标是.?

探究点二空间直线的方向向量【例2】如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则下列说法正确的是()A.直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)B.直线BC1的一个方向向量为(1,1,1)C.直线BC的一个方向向量为(1,0,0)D.直线B1D的一个方向向量为(0,1,1)A

规律方法求直线的方向向量的关键是找到直线上的两个点,用所给的单位正交基底(或者是点的坐标)表示以这两个为始点和终点的向量.

变式训练2(1)[北师大版教材习题]已知点A(1,2,1),B(0,1,3),(点O为坐标原点),求点C的坐标,并写出直线BC的一个方向向量的坐标.

(2)[人教B版教材习题]设v1=(1,2,-2),v2=(-2,3,2)分别是空间中直线l1,l2的方向向量,求直线l1,l2所成角的大小.

探究点三平面的法向量及其求法【例3】[人教B版教材例题]如图所示,已知空间直角坐标系中的三棱锥O-ABC中,O(0,0,0),A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),其中abc≠0.求平面ABC的一个法向量.

规律方法利用待定系数法求平面的法向量的解题步骤

变式训练3如图所示,已知四边形ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,试建立适当的坐标系.(1)求平面ABCD的一个法向量;(2)求平面SAB的一个法向量;(3)求平面SCD的一个法向量.

解以点A为原点,AD,AB,AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,

本节要点归纳1.知识清单:(1)求空间中点的坐标;(2)