2020年下半年中小学教师资格考试数学学科知识与教学能力试题（高级中学）.docx

PAGE9/NUMPAGES9

2020年下半年中小学教师资格考试

数学学科知识与教学能力试题（高级中学）

（科目代码：404）

注意事项：

1.考试时间为120分钟，满分为150分。

2.请按规定在答题卡上填涂、作答。在试卷上作答无效，不予评分。

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1.极限的值为（）。

A.0 B.1 C.∞ D.不存在

【答案】A。

【解析】。因为当x→0时，是无穷小量，是有界量，所以＝。故正确答案为A。

2.空间曲面xyz＝1被平面x＝1截得的曲线是（）。

A.圆 B.椭圆

C.抛物线 D.双曲线

【答案】D。

【解析】空间曲面xyz＝1被平面x＝1所截，可将x＝1代入方程xyz＝1，得yz＝1，是一个双曲线。故正确答案为D。

3.矩阵的行向量组的极大线性无关组所含向量的个数是（）。

A.1 B.2

C.3 D.4

【答案】D。

【解析】矩阵A的行向量组的极大线性无关组所含向量的个数，即矩阵A的行秩。通过初等变换可得。因此，题干中所含向量的个数为4。故正确答案为D。

4.直线与平面4x－2y－2z＝3的位置关系是（）。

A.平行 B.直线在平面内

C.垂直相交 D.相交但不垂直

【答案】A。

【解析】由题干可知，直线的方向向量为（－2,－7,3），直线过点（－3,－4,0），平面的法向量为（4,－2,－2）。因为（－2）×4＋（－7）×（－2）＋3×（－2）＝0，所以直线向量与法向量垂直，又点（－3,－4,0）不在平面4x－2y－2z＝3内，所以直线与平面平行。故正确答案为A。

5.已知函数f（x）＝则f（x）在点x＝0处（）。

A.连续但不可导

B.可导但导函数不连续

C.可导且导函数连续

D.二阶可导

【答案】B。

【解析】因为，所以f（x）在x＝0处连续。因为f’+（0）＝＝0，f’-（0）＝＝0，即f’+（0）＝f’-（0），所以函数f（x）在x＝0处可导。因为当x≠0时，，而极限不存在，所以f（x）的导函数在点x＝0处不连续。故正确答案为B。

6.已知球面方程为x2＋y2＋z2＝1，在z轴上取一点P作球面的切线，与球面相切于点M，线段PM长为，则在点P的坐标（0,0,z）中，|z|的值为（）。

A. B.2

C.3 D.4

【答案】C。

【解析】由球面方程可知，球面半径为1，在z轴上取一点P作切线，连接原点O与点M，OM与PM垂直，所以△OPM是直角三角形，那么OP＝。由OM＝1，PM＝，OP＝|z|，则|z|＝＝3。故正确答案为C。

7.阅读下面试题

已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ为。

能力考查是数学测试的重点，该测试题突出考查了学生的（）。

A.抽象概括能力

B.运算求解能力

C.推理论证能力

D.数据处理能力

【答案】B。

【解析】《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出，高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向，数学学科核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。在本题中，根据角θ的终边在直线y＝2x上，计算出cosθ的值，然后根据运算法则求出cos2θ，这属于对学生运算求解能力的考查。故正确答案为B。

8.在下图中的（1）（2）（3）处填写各知识点之间的逻辑关系，其中（1）（2）（3）处填写正确的是（）。

A.推广，类比，特殊化

B.特殊化，推广，类比

C.推广，特殊化，类比

D.类比，特殊化，推广

【答案】A。

【解析】《普通高中数学课程标准（2017年版）》中指出，在学习平面向量的基础上，经历由平面向量推广到空间向量的过程，因而立体几何中的向量方法是平面几何中的向量方法的推广，因此（1）是“推广”。几何中的向量方法与几何中的代数方法完全一致，不同的只是用“向量与向量的运算”来代替“数与数的运算”，几何中的向量方法可以简单地表述为“【形到向量】→【向量的运算】→【向量和数到形】”，几何中的代数方法可以简单地表述为“【形到数】→【数的运算】→【数到形】”，这两种方法是类比的关系，因此（2）是“类比”；平面几何中的向量方法是在数轴与向量概念的基础上，为解决物理、数学中的问题而发展的运算体系，因而数轴与向量是平面几何中的向量方法的特殊化，因此（3）是“特殊化”。故正确答案为A。

二、简答题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）

9.（1）任意实数x1，x2，x3，x4，证明：。（4分）

（2）任意正数y1，y2，y3，y4，证明：。（3分）

【参考