人教A版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第八章 立体几何初步 8.6.3 平面与平面垂直 (2).pptVIP

8.6.3平面与平面垂直第八章

内容索引0102基础落实?必备知识全过关重难探究?能力素养全提升03学以致用?随堂检测全达标

学习目标1.了解二面角及其平面角的概念.(数学抽象)2.掌握两个平面互相垂直的定义和画法.(直观想象、数学抽象)3.理解并掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理,能证明性质定理,并能解决有关面面垂直的问题.(逻辑推理、直观想象)

基础落实?必备知识全过关

知识点一:二面角1.二面角:概念平面内的一条直线把平面分成两部分,这两部分通常称为.从一条直线出发的两个所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的,这两个半平面叫做二面角的?图示?半平面半平面棱面

记法棱为AB,面分别为α,β的二面角记作二面角α-AB-β.有时为了方便,也可在α,β内(棱以外的半平面部分)分别取点P,Q,将这个二面角记作二面角P-AB-Q.如果棱记作l,那么这个二面角记作二面角α-l-β或二面角P-l-Q

2.二面角的平面角:概念由等角定理知,O点位置变化,所求二面角的平面角仍相等在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角?图示?符号OA?α,OB?β,α∩β=l,O∈l,OA⊥l,OB⊥l?∠AOB是二面角的平面角棱

范围0°≤∠AOB≤180°规定二面角的大小可以用它的来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.平面角是的二面角叫做直二面角?平面角直角

微思考1.平面几何中,“角”是如何定义的?提示从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角.2.如图,观察教室内门与墙面,当门绕着门轴旋转时,门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状.数学上,用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所形成的角?提示二面角.

知识点二:平面与平面垂直的定义一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直,记作α⊥β.微思考如何画两个相互垂直的平面?提示两个互相垂直的平面通常画成如图中的两种方式,此时,把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.

知识点三:平面与平面垂直的判定定理文字语言如果一个平面过另一个平面的,那么这两个平面垂直?图形语言?符号语言a?α,a⊥β?α⊥β作用判断两个平面?垂线垂直

名师点睛(1)判定定理可简述为“线面垂直,则面面垂直”.因此要证明平面与平面垂直,可转化为寻找平面的垂线,即证线面垂直.(2)两个平面互相垂直的判定定理不仅是判定两个平面互相垂直的依据,而且是找出与一个平面垂直的另一个平面的依据.(3)此定理有一个推论:a∥α,a⊥β?α⊥β.在做选择、填空题时可直接应用.

微思考在如图所示的长方体中,AA与平面ABCD有什么位置关系?AA在长方体的哪几个面内?这几个面与底面ABCD有什么位置关系?提示AA与平面ABCD垂直;AA在平面AABB内,也在平面AADD内,这两个平面都与底面垂直.

知识点四:平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直符号语言?

图形语言?作用证明直线与平面?垂直

微思考思考下列说法是否正确,并说明理由.(1)已知两个平面垂直,则一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线.(2)已知两个平面垂直,则一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线.(3)已知两个平面垂直,则过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面.提示(1)错误,两个平面垂直,一个平面内的已知直线与另一个平面的直线可能平行、相交或为异面直线.(2)正确.(3)错误,如果该点在交线上,过交线上一点作垂线不一定垂直于另一个平面.

重难探究?能力素养全提升

问题1:若α,β为两个不同的平面,且α⊥β,α∩β=a,则β内任意一条直线b与a有什么位置关系?相应地,直线b与平面α有什么位置关系?为什么?问题2:设平面α⊥平面β,点P在平面α内,过点P作平面β的垂线a,直线a与平面α具有什么位置关系?

探究点一证明两个平面垂直问题3:证明两个平面垂直的关键是什么?【例1】如图所示,已知∠BSC=90°,∠BSA=∠CSA=60°,又因为SA=SB=SC.求证:平面ABC⊥平面SBC.

证明(方法一)∵∠BSA=∠CSA=60°,SA=SB=SC,∴△ASB和△ASC是等边三角形,则有SA=SB=SC=AB=AC,令其值为a,则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形.取BC的中点D,如图所示,连接AD,SD,则AD⊥BC,SD⊥BC,∴∠ADS为二面角A-BC-S的平面角.在Rt