2023—2024学年上海市东昌中学高二下学期期中考试数学试卷.docVIP

2023—2024学年上海市东昌中学高二下学期期中考试数学试卷

一、填空题

(★★)1.已知直线和平面，若，则与的位置关系是________

(★)2.已知圆锥的底面半径和高均为1，则该圆锥的表面积为______。

(★★)3.若将一个边长为1的正方形围成一个圆柱，则该圆柱的体积为______.

(★★)4.水平放置的的斜二测直观图是如图中的，已知，，则边的实际长度是_____.

(★)5.某学校师生共有3600人，现用分层抽样方法抽取一个容量为240的样本，已知样本中教师人数为30人，则该校学生人数为_______

(★)6.若圆锥的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线与轴的夹角大小___________.

(★★)7.如果直线与平面所成的角为，那么直线与平面内的直线所成的角的取值范围是______；

(★)8.下图为甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况的茎叶图，则甲、乙两名篮球运动员得分的中位数的和是___________．

(★★★)9.已知，则______.

(★★★)10.圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是cm.

(★★★)11.现有甲、乙、丙三位同学合作在一个正二十面体（如图）的各面写上0~9这10个数字（相对的两个面上的数字相同），这样就得到一个产生0~9的随机数的骰子.依次投掷这个骰子，并逐个记下朝上一面的数字，就能按顺序排成一个随机数表，若甲、乙、丙依次投掷一次，按顺序记下三个数，三个数恰好构成等差数列的概率为______.

(★★★★★)12.已知正四面体的棱长为，现截去四个全等的小正四面体，得到如图的八面体，若这个八面体能放进半径为的球形容器中，则截去的小正四面体的棱长最小值为________．

二、单选题

(★)13.设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A．若，，则

B．若，，则

C．若，，则

D．若，，则

(★★)14.下列说法正确的个数（）

（1）三点确定一个平面；（2）一条直线和一个点确定一个平面；（3）两条直线确定一个平面；（4）三角形和梯形一定为平面图形.

A．0

B．1

C．2

D．3

(★★★)15.下列命题中成立的是（）

A．各个面都是三角形的多面体一定是棱锥

B．有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱

C．一个棱锥的侧面是全等的等腰三角形，那它一定是正棱锥

D．各个侧面都是矩形的棱柱是长方体

(★★★)16.如图，正方体的棱长为6，动点在棱上，动点分别在棱上，若，，（都大于零），则四面体的体积（）

A．与都无关

B．与有关，与无关

C．与都有关

D．与无关，与有关

三、解答题

(★)17.正三棱柱的底面正三角形的边长为，为的中点，.

(1)证明：平面；

(2)求该三棱柱的体积.

(★★★)18.如图，在正三棱柱中，，此三棱柱的体积为，为侧棱上点，且，、分别为、的中点.

(1)求异面直线与所成角的大小；

(2)求与平面所成角的大小.

(★★★)19.已知四棱锥的底面为直角梯形，，，平面，且，是棱上的动点.

(1)若，求点到平面的距离；

(2)当是中点时，求以为直径的球被平面所截的截面面积.

(★★★)20.如图，已知椭圆：，左顶点为，经过点，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知为的中点，，证明：对于任意的都有恒成立；

（3）若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值.

(★★★★)21.已知函数（?）．

(1)当a=2，b=0时，求函数图象过点的切线方程；

(2)当b=1时，既存在极大值，又存在极小值，求实数a的取值范围；

(3)当，b=1时，分别为的极大值点和极小值点，且，求实数k的取值范围．