2025年高中数学学业水平（合格考）知识点汇总.docx

数学学业水平合格考知识点汇编

集合与常用逻辑用语

1.1集合的概念

1.元素与集合的含义

一般地，我们把研究对象统称为元素。元素常用小写字母a、b、c......表示.把一些元素组成的总体叫做集合，简称为集.集合常用大写字母A、B、C......表示。

集合相等：只要构成这两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的。

2.集合的三个性质：1.确定性2.互异性3.无序性

3.元素与集合的关系

如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作：a∈A

如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作：a?A

常见数集及表示符号

N（2）N*或N+（3）Z（4）Q（5

1.2集合间的基本关系

1．子集的概念

文字语言

符号语言

图形语言

一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集

A?B(或B?A)

2．集合相等的概念

一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任意一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A=B，也就是说，若A?B，且B?A，则A＝B.

3.真子集的概念

文字语言

符号语言

图形语言

如果集合A?B，但存在元素x∈B且x?A，就称集合A是B的真子集

A?B

4．空集

(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集．(2)用符号表示为：?．(3)规定：空集是任何集合的子集．

1.3集合间的基本运算

1.并集

文字语言：一般地，由属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集。

符号语言：__A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}__图形语言：

2.交集

文字语言：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集。

符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}图形语言：

3．并集与交集的运算性质

并集的运算性质

交集的运算性质

A∪B＝B∪A

A∩B＝B∩A

A∪A＝A

A∩A＝A

A∪?＝A

A∩?＝?

A?B?A∪B＝B

A?B?A∩B＝A

4．全集

如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．通常记作U．

5．补集

文字语言

对于一个集合A，由全集U中不属于A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为补集，记作?UA

符号语言

?UA＝x

图形语言

6.补集的性质

(1)A∪(?UA)＝U．(2)A∩(?UA)＝?．(3)?UU=?，?U?＝U，?U(?UA)＝A．

(4)(?UA)∩(?UB)＝CUA∪B．(5)(?UA)∪(?UB)

1.4充分条件与必要条件

1.充分条件与必要条件

命题真假

“若p，则q”是真命题

“若p，则q”是假命题

推出关系

p?q

peq\o(?,/)q

条件关系

p是q的充分条件

q是p的必要条件

p不是q的充分条件

q不是p的必要条件

2.对充分条件和必要条件的进一步划分：

条件p与结论q的关系

结论

p?q，且qeq\o(?,\s\up0(/))p

p是q的充分不必要条件

q?p，且peq\o(?,\s\up0(/))q

p是q的必要不充分条件

p?q，且q?p，即p?q

p是q的充要条件

peq\o(?,\s\up0(/))q，且qeq\o(?,\s\up0(/))p

p是q的既不充分也不必要条件

1.5全称量词与存在量词

1.全称量词与全称量词命题

（1）全称量词：短语“所有的、任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“?”表示．

（2）全称量词命题：含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．表述形式：全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记?x∈M，p(x).

2.存在量词与存在量词命题

（1）存在量词：短语“存在一个”“至少一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“?”表示．

（2）．存在量词命题：含有存在量词的命题，叫做存在量词命题_．表述形式：存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为?x∈M，p(x).

3.含量词的命题的否定形式

命题

命题的否定学|

结论

全称量词命题?x∈M，p(x)

?x∈M，?p(x)

全称量词命题的否定是存在命题

存在量词命题?x∈M，p(x)

?x∈M，?p(x)

存在量词命题的否定是全称命题

第二章二次函数与一元二次方程、不等式

2.1等式性质与不等式性质

1.比较两实数a，b大小的依据

2.不等式的性质

（1）a＞b?b＜a；（2）a＞b，b＞c?a＞c；（3）a＞b?a＋c＞b＋c；

（4）a＞b，c＞0?ac＞bc，a＞b，c＜0?ac＜bc；（5