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一、单项选择题
1.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=eq\r(2),BC=2,点D为BC的中点,则异面直线AD与A1C所成的角为()
A.eq\f(π,2) B.eq\f(π,3)
C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,6)
2.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为()
A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(15),5)C.eq\f(\r(6),4)D.eq\f(\r(6),3)
3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1和DD1的中点,则平面ECF与平面ABCD夹角的余弦值为()
A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(\r(6),3)
C.eq\f(1,3) D.eq\f(\r(2),3)
4.(2023·沧州模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是C1D1的中点,则异面直线AP与BA1所成角的余弦值为()
A.eq\f(\r(2),6)B.eq\f(\r(3),6)C.eq\f(1,3)D.eq\f(2,3)
5.(2024·郑州模拟)如图,已知AB是圆柱底面圆的一条直径,OP是圆柱的一条母线,C为底面圆上一点,且AC∥OB,OP=AB=eq\r(2)OA,则直线PC与平面PAB所成角的正弦值为()
A.eq\f(\r(10),10)B.eq\f(\r(5),5)C.eq\f(1,10)D.eq\f(1,4)
6.(2023·杭州模拟)若正方形ABCD的边长为a,E,F分别为CD,CB的中点(如图1),沿AE,AF将△ADE,△ABF折起,使得点B,D恰好重合于点P(如图2),则直线PA与平面PCE所成角的正弦值为()
A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(3),6)D.eq\f(\r(3),2)
二、多项选择题
7.三棱锥A-BCD中,平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1,n2,若n1=(1,0,0),n2=(-eq\r(3),0,1),则二面角A-BD-C的大小可能为()
A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(5π,6)
8.(2023·深圳模拟)如图,在矩形AEFC中,AE=2eq\r(3),EF=4,B为EF中点,现分别沿AB,BC将△ABE,△BCF翻折,使点E,F重合,记为点P,翻折后得到三棱锥P-ABC,则()
A.三棱锥P-ABC的体积为eq\f(4\r(2),3)
B.直线PA与直线BC所成角的余弦值为eq\f(\r(3),6)
C.直线PA与平面PBC所成角的正弦值为eq\f(1,3)
D.三棱锥P-ABC外接球的半径为eq\f(\r(22),2)
三、填空题
9.(2023·天津统考)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=1,AA1=3,则异面直线A1C1与AD1所成角的余弦值为________.
10.在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱A1A⊥底面ABC,AC=1,AA1=2,∠BAC=90°,若直线AB1与直线A1C所成角的余弦值是eq\f(4,5),则棱AB的长度是________.
11.(2023·洛阳模拟)二面角α-l-β的棱上有两个点A,B,线段BD与AC分别在这个二面角的两个半平面内,并且垂直于棱l,若AB=4,AC=6,BD=8,CD=2eq\r(17),则平面α与平面β的夹角为________.
12.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H,K,L分别是棱AB,BB1,B1C1,C1D1,D1D,DA的中点,则直线A1C与平面EFGHKL所成角的大小为________;若P,Q是六边形EFGHKL边上两个不同的动点,设直线D1B与直线PQ所成的最小角为θ,则sinθ的值为________.
四、解答题
13.如图,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AD∥BC,AD⊥AB,AB=AD=1,AE=BC=2CF=2.
(1)求证:BF∥平面ADE;
(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值.
14.(2024·南昌模拟)如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,AD=DC=eq\f(1,2)AB,现将△ADC沿AC翻至△APC,使二面角P-AC-B为直二面角.
(1)证明:CB⊥PA;
(2)若AB=4,二面角B-PA-C的余弦值为eq\f(\r(21),7),求异面直线PC与AB所成角的余弦值.
§7.7向量法求空间角答案
1.B2.C
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