人教A版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第6章 平面向量及其应用 学习单元2 6.2.4 向量的数量积.pptVIP

;学习目标;基础落实·必备知识全过关;;知识点一:向量数量积的定义

1.向量a与向量b的夹角:

(1)夹角的定义:已知两个非零向量a,b,O是平面上的任意一点,作

则=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.

确定a,b的夹角时,起点要重合

(2)显然,当θ=0时,a与b;当θ=π时,a与b.?

(3)如果a与b的夹角是,我们说a与b垂直,记作.?;2.向量的数量积:

(1)定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量叫做向量a与b的数量积(或内积),记作,即a·b=|a||b|cosθ.?

(2)零向量与任一向量的数量积为.?

(3)向量数量积的大小与两个向量的长度及其夹角有关.;微思考

1.两个向量的数量积运算与实数乘实数、数乘向量的运算有什么区别?试着从符号表述、物理意义、结果等方面来比较.;知识点二:向量a在向量b上的投影向量;微思考

1.如何理解投影向量的内涵?投影向量能比较大小吗?;知识点三:平面向量数量积的性质

设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则

(1)a·e=e·a=.?

(2)a⊥b?.?

(3)当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.特别地,a·a=______

或|a|=.

常记作a2?

(4)|a·b||a||b|.?;微思考

1.对于两向量的数量积运算,若特殊化思考,可以从哪些角度考虑?;知识点四:平面向量数量积的运算律;微思考

向量的数量积运算律容易受数的运算律的干扰而混淆.思考:

(1)下列三个非零向量的运算是否一定成立,如(a·b)·c=a·(b·c)?;;问题1向量除了可以进行加、减运算,能否作乘法运算?如果能,运算如何规定?试着类比物理中力做功的背景来思考.

问题2为何把向量的乘法运算称为向量的数量积?数量积运算与向量的线性运算有何异同?

问题3为何要规定零向量与任一非零向量的数量积为0?;;规律方法求向量的数量积时,需明确两个关键点:相关向量的模和夹角.若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算,则需先用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简.;问题5若不知两向量的模长、夹角,如何计算两向量的数量积?;???律方法平面向量的数量积的转化运算

(1)要充分利用图形特点及其含有的已知向量.这里的已知向量主要指已知夹角或模长的向量.;;解如图所示,连接AD,因为AB=AC=4,∠BAC=90°,

所以△ABC是等腰直角三角形.

又D是边BC的中点,;规律方法投影向量的求解策略

求投影向量要搞清是求哪一个向量在哪一个向量上的投影向量,在正确理解其定义的同时,找准两向量之间的夹角是关键.确定两向量的夹角时,一定要注意“共起点”.;问题7如何利用向量数量积的几何意义进行运算?

【例4】如图所示,已知☉O为△ABC的外接圆,AB=6,BC=7,CA=8,;规律方法夹角未知时,要充分利用向量数量积的几何意义,明确夹角大小,以免符号错误.;;【例5】(1)已知向量a,b满足|a|=|b|=5,且a与b的夹角为60°,则|2a+b|=.?;规律方法向量模的求解方法

根据数量积的定义a·a=|a||a|cos0°=|a|2,得|a|=,这是求向量的模的一种方法.即要求一个向量的模,先求这个向量模的平方,再求它的算术平方根.对于复杂的向量也是如此.例如,求|a+b|,可先求(a+b)2=(a+b)·(a+b),再取其算术平方根即为|a+b|.;问题10如何利用数量积运算来解决角度问题?对于特殊的垂直,又有怎样的性质?

【例6】若非零向量a,b满足|a|=|b|,且(2a+b)⊥b,则a与b的夹角为()

A.30° B.60°

C.120° D.150°;延伸探究本例中,若非零向量a,b的夹角为60°,且|a|=|b|,当(a+2b)⊥(ka-b)时,求实数k的值.;规律方法求平面向量夹角的方法

求向量的夹角,主要是利用公式cosθ=求出夹角的余弦值,从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|,|b|的值,然后代入求解,也可以寻找|a|,|b|,a·b三者之间的关系,然后代入求解.;;规律方法能够将