人教A版高中同步学案数学选择性必修第一册精品课件 第1章 空间向量与立体几何 1.4.1 第2课时 空间中直线、平面的垂直 分层作业.pptVIP

第一章1.4.1第2课时空间中直线、平面的垂直

1234567891011121314A级必备知识基础练1.[探究点三]若平面α与β的法向量分别是a=(2,4,-3),b=(-1,2,2),则平面α与β的位置关系是()A.平行 B.垂直C.相交但不垂直 D.无法确定B解析a·b=(2,4,-3)·(-1,2,2)=-2+8-6=0,∴a⊥b,∴平面α与平面β垂直.

1234567891011121314C

解析如图,以AB,AC,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Axyz,

12345678910111213143.[探究点一](多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,M,N分别是棱DD1,D1C1的中点,则直线OM()A.和AC垂直B.和AA1垂直C.和MN垂直D.与AC,MN都不垂直AC

1234567891011121314解析以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略).设正方体的棱长为2a,则D(0,0,0),D1(0,0,2a),M(0,0,a),A(2a,0,0),C(0,2a,0),O(a,a,0),N(0,a,2a).

12345678910111213144.[探究点三]已知平面α的一个法向量a=(x,1,-2),平面β的一个法向量b=.若α⊥β,则x-y=.?-1解析因为α⊥β,所以a⊥b,所以-x+y-1=0,得x-y=-1.

12345678910111213145.[探究点二]已知空间四点A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),P(x,0,z),若PA⊥平面ABC,则P的坐标为.?(-1,0,2)

12345678910111213146.[探究点三][2023山东枣庄月考]如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是正方形,PA=AD=2,M,N分别是AB,PC的中点.求证:平面MND⊥平面PCD.

1234567891011121314证明∵PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,∴AB,AD,AP两两垂直.如图所示,分别以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系,可得A(0,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),M(1,0,0),N(1,1,1),∴m=(-2,-1,1)是平面MND的一个法向量,同理可得n=(0,1,1)是平面PCD的一个法向量.∵m·n=-2×0+(-1)×1+1×1=0,∴m⊥n,即平面MND的法向量与平面PCD的法向量互相垂直,可得平面MND⊥平面PCD.

12345678910111213147.[探究点二]如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E是CD的中点.求证:CD⊥平面PAE.

证明如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设PA=h,则A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),E(2,4,0),P(0,0,h).1234567891011121314∴CD⊥AE,CD⊥AP.∵AP∩AE=A,∴CD⊥平面PAE.

12345678910111213148.[探究点一][北师大版教材习题]已知:如图,△ABC为正三角形,AE和CD都垂直于平面ABC,且AE=AB=2CD,点F是BE的中点.(1)求证:DF∥平面ABC;(2)求证:AF⊥BD.

1234567891011121314

1234567891011121314

1234567891011121314B级关键能力提升练B

1234567891011121314

123456789101112131410.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,P是AA1的中点,点M在侧面AA1B1B(含边界)内,若D1M⊥CP,则△BCM面积的最小值为()D

1234567891011121314解析以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系,如图.则P(4,0,2),C(0,4,0),D1(0,0,4),B(4,4,0).

1234567891011121314ABC

1234567891011121314

123456789101112131412.[北师大版教材习题]已知:如图,在空间直角坐标系中有长方体ABCD-ABCD,,AA=1,点E是CD的中点.求证:平面AAE⊥平面BBE.

1