人教A版高中同步学案数学选择性必修第一册精品课件 第3章 圆锥曲线的方程 3.3.1 抛物线及其标准方程.pptVIP

;;基础落实·必备知识全过关;;;过关自诊

1.定义中为什么要求直线l不经过点F?;2.[2023上海松江期末]已知动点P到定点(1,0)的距离等于它到定直线l:x=-1的距离,则点P的轨迹方程为.?;;图形;名师点睛

1.要注意弄清抛物线四种形式的标准方程的特征及其对应抛物线的形状(焦点位置、开口方向等).在抛物线的标准方程中,有一个一次项和一个二次项,二次项的系数为1,一次项的系数为±2p;若一次项的字母是x,则焦点就在x轴上,若其系数是正的,则焦点就在x轴的正半轴上(开口向右),若系数是负的,焦点就在x轴的负半轴上(开口向左);若一次项的字母是y,则焦点就在y轴上,若其系数是正的,则焦点就在y轴的正半轴上(开口向上),若系数是负的,焦点就在y轴的负半轴上(开口向下).

2.焦点的非零坐标是标准方程下一次项系数的.

3.准线与坐标轴的交点和抛物线的焦点关于原点对称.;过关自诊

1.二次函数的图象也是抛物线,与本节所学抛物线相同吗?;3.[人教B版教材习题]分别根据下列条件,写出抛物线的标准方程:

(1)焦点是F(2,0);

(2)准线方程是x=-.;;;规律方法由抛物线方程求焦点坐标与准线方程的基本方法

已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程时,一般先将所给方程化为标准形式,由标准方程得到参数p,从而得焦点坐标和准线方程,要注意p0,焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定,系数为正,焦点在正半轴,系数为负,焦点在负半轴.;变式训练1(1)抛物线x2+2y=0的准线方程为();(2)抛物线y=-x2的焦点坐标为();;(2)已知抛物线的焦点在y轴上,可设方程为x2=2my(m≠0),

由焦点到准线的距离为5,知|m|=5,m=±5,

∴满足条件的抛物线有两条,它们的标准方程分别为x2=10y和x2=-10y.;(3)∵点(-3,-1)在第三象限,

∴设所求抛物线的标准方程为y2=-2px(p0)或x2=-2py(p0).

若抛物线的标准方程为y2=-2px(p0),;(4)对于直线方程3x-4y-12=0,令x=0,得y=-3;令y=0,得x=4,

∴抛物线的焦点为(0,-3)或(4,0).;变式探究将本例(4)改为焦点为圆x2+y2=4与坐标轴的交点,求抛物线的方程.;规律方法1.抛物线标准方程的求法

(1)定义法:建立适当坐标系,利用抛物线的定义列出动点满足的条件,列出方程,进行化简,根据定义求出p,最后写出标准方程.

(2)待定系数法:由于标准方程有四种形式,因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上,进而确定方程的形式,然后再利用已知条件确定p的值.

2.求抛物线的标准方程时需注意的三个问题

(1)把握开口方向与方程间的对应关系.

(2)当抛物线的类型没有确定时,可设方程为y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0).

(3)注意p与的几何意义.;;因此动点M(x,y)到定点(1,0)的距离等于它到定直线3x-4y+2=0的距离,且定点(1,0)不在定直线3x-4y+2=0上,

故动点M的轨迹是以(1,0)为焦点,以3x-4y+2=0为准线的抛物线.;规律方法定义法解决轨迹问题

根据动点坐标满足的方程判断其轨迹时,要注意结合两点间的距离公式以及点到直线的距离公式,对所给方程进行适当变形,分析其几何意义,然后结合有关曲线的定义作出判定.;变式训练2一个动圆经过点A(2,0),并且和直线l:x=-2相切,则动圆圆心M的轨迹方程是.?;;(2)已知直线l1:2x-3y-6=0和直线l2:y+1=0,则抛物线y=x2上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是.?;规律方法求圆锥曲线上到两定点的距离之和最小的点的位置时,通常有两种情况:(1)当两定点在曲线两侧时,连接两定点的线段与曲线的交点即为所求点;(2)当两定点在曲线同侧时,由圆锥曲线定义作线段的等量转换,转换为(1)的情形即可.;变式训练3已知抛物线y2=4x上一点P到准线的距离为d1,到直线l:4x-3y+11=0的距离为d2,则d1+d2的最小值为.?;;规律方法抛物线应用题的解法

建立抛物线的标准方程的方法:以抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为一条坐标轴建立坐标系.这样可使得标准方程不仅具有对称性,而且曲线过原点,方程不含常数项,形式更为简单,便于应用.;变式训练4[人教B版教材习题]如图是一座抛物线型拱桥示意图,拱桥是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴,已知顶点距离水面4m时,量得水面宽12m,那么当水位升高1m时水面的宽为多少?;解建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线的方程为x2=-2py(p0),

由题意知B(6,-4),将其坐标代入,得2p=9,

∴