人教A版高中同步学案数学选择性必修第一册精品课件 第3章 圆锥曲线的方程 3.3.2 抛物线的简单几何性质.pptVIP

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方程;名师点睛

1.抛物线没有渐近线,在画图时不要把抛物线画成双曲线一支的形状,因为双曲线的开口越来越开阔,而抛物线的开口越来越扁平.

2.抛物线的顶点只有一个,抛物线的焦点总在对称轴上,抛物线的准线始终与对称轴垂直.;过关自诊

1.抛物线的几何性质与椭圆、双曲线的有何不同?;2.[北师大版教材习题]在同一平面直角坐标系中画出下列抛物线:

(1)y2=x;(2)y2=2x;(3)y2=4x.

通过观察这些图形,说明抛物线开口的大小与方程中x的系数有怎样的关系.;3.[人教B版教材例题]已知抛物线的对称轴为x轴,顶点是坐标原点且开口向左,又抛物线经过点M(-4,2),求这个抛物线的标准方程.;;过关自诊

1.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p0),则()

A.直线与抛物线有一个公共点

B.直线与抛物线有两个公共点

C.直线与抛物线有一个或两个公共点

D.直线与抛物线可能没有公共点;2.[2023上海闵行期末]过点(0,4)作直线与抛物线y2=x有且仅有一个交点,这样的直线可以作出条.?;解析当过点(0,4)的直线斜率不存在时,显然x=0与抛物线y2=x有且只有一个交点.

当过点(0,4)的直线与抛物线y2=x的对称轴平行,即斜率为0时,显然y=4与抛物线y2=x有且只有一个交点;

当直线过点(0,4),斜率存在,且与抛物线相切时,直线与抛物线只有一个交点,

设直线方程为y=kx+4,代入抛物线方程y2=x,消去y得k2x2+(8k-1)x+16=0,;;;(2)如图所示.由|OA|=|OB|可知AB⊥x轴,设垂足为点M.

因为焦点F是△OAB的重心,;规律方法抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用,但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含的条件.其中应用最广泛的是范围、对称性、顶点坐标.在解题时,应先注意开口方向、焦点位置,选准标准方程形式,然后利用条件求解.要注意运用数形结合思想,根据抛物线的定义,将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相互转化.;变式训练1已知抛物线的焦点F在x轴上,直线l过F且垂直于x轴,l与抛物线交于A,B两点,坐标原点O为抛物线的顶点,若△OAB的面积等于4,求此抛物线的标准方程.;;∴x1x2+y1y2=x1x2+(x1+m)(x2+m)=2x1x2+m(x1+x2)+m2=2m2+m(8-2m)+m2=0,

∴m=-8或m=0,经检验,当m=0时,直线过坐标原点,不符合题意,m=-82,符合题意.

???上,m的值为-8.;规律方法1.直线与抛物线相交于两点,隐含着条件Δ0,求y1+y2及x1+x2是为利用中点坐标公式做准备.

2.设直线l:y=kx+b,抛物线y2=2px(p0),将直线方程与抛物线方程联立消元得k2x2+(2kb-2p)x+b2=0.

(1)若k2=0,此时直线与抛物线有一个交点,该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.

(2)若k2≠0,当Δ0时,直线与抛物线相交,有两个交点;

当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个交点;

当Δ0时,直线与抛物线相离,无交点.;变式训练2设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是();解析由题知Q(-2,0),若直线l的斜率不存在,显然不合题意.

故直线l的斜率存在,

设为k,则l的方程为y=k(x+2).;;解(1)由题意得F(1,0),

l的方程为y=k(x-1)(k0).;(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),

所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.;规律方法AB是抛物线y2=2px(p0)过焦点F的一条弦,称为焦点弦,设A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB的中点为M(x0,y0),过A,M,B分别向抛物线的准线l作垂线,垂足分别为A1,M1,B1,抛物线的焦点弦有以下结论:;变式训练3过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上,且MN⊥l,则M到直线NF的距离为();;规律方法定值与定点问题的求解策略

(1)欲证某个量为定值,先将该量用某变量表示,通过变形化简若能消掉此变量,即证得结论,所得结果即定值.

(2)寻求一条直线经过某个定点的常用方法:①通过方程判断;②对参数取几个特殊值探求定点,再证明此点在直线上;③利用曲线的性质(如对称性等),令其中一个变量为定值,再求出另一个变量为定值;④转化为三点共线的斜率相等或向量平行等.;变式训练4已知抛物线的方程是y2=4x,直线l交抛物线于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2).

(1)若弦AB的中点为(3,3)