人教A版高中同步学案数学选择性必修第一册精品课件 第二章 2.5.1 直线与圆的位置关系.pptVIP

2.5.1直线与圆的位置关系第二章

课标要求1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.

内容索引0102基础落实?必备知识全过关重难探究?能力素养全提升03学以致用?随堂检测全达标

基础落实?必备知识全过关

知识点直线与圆的位置关系的判断方法直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个?一个零个判定方法几何法:设圆心到直线的距离d=dr?d=rdr?代数法:由消元得到一元二次方程Δ0Δ=0Δ0?可消x,也可消y,都能得到一元二次方程两

名师点睛利用直线和圆的方程,通过定量计算研究直线与圆的位置关系.

过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若直线与圆有公共点,则直线与圆相交.()(2)如果直线与圆组成的方程组有解,则直线和圆相交或相切.()(3)若圆心到直线的距离大于半径,则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解.()√×√2.利用几何法、代数法都可以判断直线与圆的位置关系,哪种方法简单?提示一般几何法较为简单.

重难探究?能力素养全提升

探究点一判断直线与圆的位置关系【例1】已知直线方程mx-y-m-1=0,圆的方程x2+y2-4x-2y+1=0.当m满足什么条件时,直线与圆:(1)有两个公共点?(2)只有一个公共点?(3)没有公共点?

解(方法1)将直线mx-y-m-1=0代入圆的方程,化简、整理,得(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0.∵Δ=4m(3m+4),∴当Δ0,即m0或m-时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点;当Δ=0,即m=0或m=-时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点;当Δ0,即-m0时,直线与圆相离,即直线与圆没有公共点.

规律方法直线与圆的位置关系的判定有两种方法

探究点二直线与圆相切【例2】过点A(4,-3)作圆C:(x-3)2+(y-1)2=1的切线,求此切线的方程.解因为(4-3)2+(-3-1)2=171,所以点A在圆外.(1)若所求切线的斜率存在,设切线斜率为k,则切线方程为y+3=k(x-4).因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径,半径为1,

(2)若直线斜率不存在,圆心C(3,1)到直线x=4的距离也为1,这时直线与圆也相切,所以另一条切线方程是x=4.综上,所求切线方程为15x+8y-36=0或x=4.

规律方法过一点的圆的切线方程的求法(1)点(x0,y0)在圆上①先求切点与圆心连线的斜率k,再由垂直关系得切线的斜率为-,由点斜式可得切线方程.②如果斜率为零或不存在,则由图形可直接得切线方程y=y0或x=x0.

(2)点(x0,y0)在圆外①设切线方程为y-y0=k(x-x0),由圆心到直线的距离等于半径建立方程,可求得k,得到切线方程.②当用此法只求出一个方程时,另一个方程应为x=x0,因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况.提醒:已知一点求圆的切线方程时,切勿漏掉斜率不存在的情况.

变式训练1过点Q(3,0)作圆x2+y2=4的切线,求此切线方程.

探究点三直线与圆相交【例3】(1)过圆x2+y2=8内的点P(-1,2)作直线l交圆于A,B两点.若直线l的倾斜角为135°,则弦AB的长为.?(2)圆心为C(2,-1),截直线y=x-1的弦长为2的圆的方程为.??解析(1)由题意知直线l的方程为y-2=-(x+1),即x+y-1=0,

规律方法1.求圆的弦长的两个方法圆的性质利用圆的半径r,圆心到直线的距离d,弦长l之间的关系r2=d2+()2解题交点坐标若直线与圆的交点坐标易求出,求出交点坐标后,直接用两点间的距离公式计算弦长2.与弦长相关的问题利用弦长、弦心距、半径的关系构造方程或方程组,解出其中的未知量.

变式训练2如果一条直线经过点M且被圆x2+y2=25所截得的弦长为8,求这条直线的方程.

故直线的方程为3x+4y+15=0.综上可知,满足题意的直线有两条,对应的方程分别为x=-3和3x+4y+15=0.

探究点四直线与圆的方程的实际应用【例4】如图,某海面上有O,A,B三个小岛(面积大小忽略不计),A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛40千米处,B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处.以O为坐标原点,O的正东方向为x轴的正方向,1千米为单位长度,建立平面直角坐标系.圆C经过O,A,B三点.(1)求圆C的方程;(2)若圆C区域内有未知暗礁,现