人教A版高中同步学案数学选择性必修第一册精品课件 第一章 1.4.1 第2课时 空间中直线、平面的垂直.pptVIP

第2课时空间中直线、平面的垂直第一章

课标要求1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面垂直关系的判定定理.3.能用向量方法证明空间中直线、平面的垂直关系.

内容索引0102基础落实?必备知识全过关重难探究?能力素养全提升03学以致用?随堂检测全达标

基础落实?必备知识全过关

知识点空间中直线、平面垂直的向量表示位置关系向量表示线线垂直设直线l1,l2的方向向量分别为μ1,μ2,则l1⊥l2?μ1⊥μ2?μ1·μ2=0可判定相交垂直,也可判定异面垂直线面垂直设直线l的方向向量为μ,平面α的法向量为n,则l⊥α???面面垂直设平面α,β的法向量分别为n1,n2,则α⊥β???μ∥nλ∈R,使得μ=λnn1⊥n2n1·n2=0

过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若两条直线的方向向量的数量积为0,则这两条直线一定垂直相交.()(2)若一直线与平面垂直,则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.()(3)两个平面垂直,则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直.()(4)若两平面α,β的法向量分别为u1=(1,0,1),u2=(0,2,0),则平面α,β互相垂直.()√××√

2.怎样用语言叙述利用直线的方向向量与平面的法向量判断垂直关系?提示(1)若证线线垂直,则证直线的方向向量垂直;(2)若证线面垂直,则证直线的方向向量与平面的法向量平行;(3)若证面面垂直,则证两平面的法向量垂直.

重难探究?能力素养全提升

探究点一利用向量方法证明线线垂直【例1】如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,PA=AB=1,F是PB的中点,点E在边BC上移动.求证:无论点E在边BC上的何处,都有PE⊥AF.思路分析只需证明直线PE与AF的方向向量互相垂直即可.

证明(方法1)以A为原点,以AD,AB,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设AD=a,

规律方法利用向量方法证明线线垂直的方法坐标法建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,求出两直线方向向量的坐标,然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于0,从而证明两条直线的方向向量互相垂直基向量法利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律,结合图形,将两直线所在的向量用基向量表示,然后根据数量积的运算律证明两直线所在的向量的数量积等于0,从而证明两条直线的方向向量互相垂直

变式探究本例条件不变,求证:AF⊥BC.

变式训练1在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AC的中点.求证:(1)BD1⊥AC;(2)BD1⊥EB1.

证明以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则

探究点二利用向量方法证明线面垂直【例2】在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分别为棱AB,BC,B1B的中点.求证:D1M⊥平面EFB1.

(方法2)以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.

(方法3)以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,

规律方法利用空间向量证明线面垂直的方法

变式训练2如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.求证:AB1⊥平面A1BD.

证明如图所示,取BC的中点O,连接AO.因为△ABC为正三角形,所以AO⊥BC.因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,且平面ABC∩平面BCC1B1=BC,AO?平面ABC,所以AO⊥平面BCC1B1.取B1C1的中点O1,以O为坐标原点,OB,OO1,OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Oxyz,

探究点三利用向量方法证明面面垂直【例3】如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=2,BB1=1,点E为BB1的中点,证明:平面AEC1⊥平面AA1C1C.

证明由题意得AB,BC,B1B两两垂直.以点B为原点,BA,BC,BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.则A(2,0,0),A1(2,0,1),

令x1=1,得y1=1.∴n1=(1,1,0).设平面AEC1的法向量为n2=(x2,y2,z2),令z2=4,得x2=1,y2=-1.∴n2=(1,-1,4).∵n1·n2=1×1+1×(-1)+0×4=0,∴n1⊥n2,∴平面AEC1⊥