人教A版高中同步学案数学选择性必修第一册精品课件 第1章 空间向量与立体几何 分层作业 1.4.1 第3课时 空间中直线、平面的垂直.pptVIP

分层作业1.4.1第3课时空间中直线、平面的垂直

1234567891011121314A级必备知识基础练1.[探究点三]若平面α与β的法向量分别是a=(2,4,-3),b=(-1,2,2),则平面α与β的位置关系是()A.平行 B.垂直C.相交但不垂直 D.无法确定B解析a·b=(2,4,-3)·(-1,2,2)=-2+8-6=0,∴a⊥b,∴平面α与平面β垂直.15

1234567891011121314152.[探究点二][2024江苏铜山月考]已知直线l的方向向量为a=(1,1,2),平面α的法向量为n=(2,2,4),则()A.l∥α B.l⊥αC.l?α D.l与α相交B解析由n=(2,2,4),a=(1,1,2),可得n=2a,即n∥a,则直线l⊥α.故选B.

123456789101112131415C

解析如图,以AB,AC,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Axyz,123456789101112131415

1234567891011121314154.[探究点二][2024北京石景山高二统考期末]已知m=(-2,a+b,a-b)(a,b∈R)是直线l的方向向量,n=(2,-1,2)是平面α的法向量.若l⊥α,则下列选项正确的是()C

123456789101112131415解析若l⊥α,则m=λn,即(-2,a+b,a-b)=(2λ,-λ,2λ),所以a-3b-5=-10,a-3b-4=-9.故选C.

1234567891011121314155.[探究点一](多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,M,N分别是棱DD1,D1C1的中点,则直线OM()A.和AC垂直B.和AA1垂直C.和MN垂直D.与AC,MN都不垂直AC

解析以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略).设正方体的棱长为2a,则D(0,0,0),D1(0,0,2a),M(0,0,a),A(2a,0,0),C(0,2a,0),O(a,a,0),N(0,a,2a).123456789101112131415

1234567891011121314156.[探究点三]已知平面α的一个法向量a=(x,1,-2),平面β的一个法向量b=.若α⊥β,则x-y=.?-1解析因为α⊥β,所以a⊥b,所以-x+y-1=0,得x-y=-1.

1234567891011121314157.[探究点三]如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是正方形,PA=AD=2,M,N分别是AB,PC的中点.求证:平面MND⊥平面PCD.

证明∵PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,∴AB,AD,AP两两垂直.如图所示,分别以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系,可得A(0,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),M(1,0,0),N(1,1,1),∴m=(-2,-1,1)是平面MND的一个法向量,同理可得n=(0,1,1)是平面PCD的一个法向量.∵m·n=-2×0+(-1)×1+1×1=0,∴m⊥n,即平面MND的法向量与平面PCD的法向量互相垂直,可得平面MND⊥平面PCD.123456789101112131415

1234567891011121314158.[探究点二][2024四川绵阳校考模拟预测]如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,E,F分别为PA,BD中点,PA=PD=AD=2.(1)求证:EF∥平面PBC;(2)在棱PC上是否存在一点G,使GF⊥平面EDF?若存在,指出点G的位置;若不存在,说明理由.

123456789101112131415(1)证明连接AC,因为F为BD中点,底面ABCD是正方形,所以F为AC中点.又E为PA中点,所以EF∥PC.又EF?平面PBC,PC?平面PBC,所以EF∥平面PBC.(2)解不存在.假设存在,由图知,EF为平面EDF和平面PAC的交线,取AD的中点O,连接GF,OF,OP,则OF⊥AD,OP⊥AD.因为侧面PAD⊥底面ABCD,侧面PAD∩底面ABCD=AD,OF?底面ABCD,所以OF⊥侧面PAD.又因为OP?侧面PAD,所以OF⊥OP,故OF,AD,OP两两垂直.

123456789101112131415以O为原点,OA,OF,OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

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1234567891011121314159.[探究点一][北师大版教材习题]已知:如