人教A版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第七章 复数 7.3.1 复数的三角表示式 7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.ppt

7.3.1复数的三角表示式7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义第七章

内容索引0102基础落实?必备知识全过关重难探究?能力素养全提升03学以致用?随堂检测全达标

学习目标1.通过复数的几何意义,了解复数的三角表示.(数学抽象)2.了解复数的代数形式与三角形式之间的关系.(数学抽象)3.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.(数学运算、直观想象)

基础落实?必备知识全过关

知识点一:复数的三角表示式1.一般地,任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式.其中,r是;θ是以x轴的非负半轴为始边,(射线)为终边的角,叫做复数z=a+bi的.r(cosθ+isinθ)?叫做复数z=a+bi的三角表示式,简称三角形式.为了与三角形式区分开来,叫做复数的代数表示式,简称代数形式.?复数z的模OZ辐角a+bi

2.任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值,且这些值相差.我们规定在范围内的辐角θ的值为辐角的主值.通常记作,即0≤argz2π.例如,arg1=,argi=,arg(-1)=,arg(-i)=.?3.两个非零复数相等,当且仅当它们的与分别相等.?2π的整数倍0≤θ2πargz0π模辐角的主值

微判断判断下列说法是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”并说明理由.(1)复数0的辐角一定是0.()(2)一个给定的复数,其辐角也是唯一确定的.()(3)复数i的辐角可以为-π.()×0只是辐角的主值.×辐角的主值是唯一确定,但辐角有无数个.√

微思考复数的三角形式体现了怎样的几何意义?提示体现了复数的模及辐角.

知识点二:复数三角形式乘、除法与几何意义1.已知z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2),则z1z2=.?这就是说,两个复数相乘,积的模等于各复数的,积的辐角等于各复数的.?这就是说,两个复数相除,商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商,商的辐角等于减去所得的差.?r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]模的积辐角的和被除数的辐角除数的辐角

2.复数乘、除法的几何意义:逆θ2顺|θ2|r2

顺逆

微思考复数三角形式的乘、除法运算能解决复数的什么几何问题?提示能解决复数的旋转问题,即得到复数旋转后得到的新复数.若把向量转化成相应的复数,也就能解决向量的旋转问题.

重难探究?能力素养全提升

问题1:由复数的几何意义,容易知道特殊对称后可得到新复数.若让原复数对应的向量旋转一个角度,能否快速得到新的复数?问题2:三角函数形式非常容易表示旋转,类比三角函数的定义,对于复数z=a+bi(a,b∈R),能否重新定义一个新的形式,使得复数对应的向量容易旋转?

探究点一复数的三角形式问题3:复数的三角形式有哪些要素?如何将复数的代数形式转换成三角形式?又如何将复数的三角形式转换成代数形式?【例1】将下列复数表示成三角形式.(1)5i;(2)8;(3)-3-3i;(4)-1+i.

规律方法复数的代数形式z=a+bi化为复数三角形式的一般步骤(1)求复数的模:(2)由tanθ=及点(a,b)所在象限求出复数的一个辐角(一般情况下,只需求出复数的辐角主值即可);(3)写出复数的三角形式.

探究点二复数三角形式的乘法运算问题4:复数的三角形式如何进行乘法运算?其乘法运算又有怎样的几何意义?【例2】计算下列各式:

规律方法两个复数三角形式乘法的法则可简记为:模数相乘,辐角相加,并且可以作以下推广:(1)有限个复数相乘,结论亦成立.即z1·z2·…·zn=r1(cosθ1+isinθ1)·r2(cosθ2+isinθ2)·…·rn(cosθn+isinθn)=r1·r2·…·rn[cos(θ1+θ2+…+θn)+isin(θ1+θ2+…+θn)].(2)当z1=z2=…=zn=z时,即r1=r2=…=rn=r,θ1=θ2=…=θn=θ,有zn=[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ),这就是复数三角形式的乘方法则,即:模数乘方,辐角n倍.

探究点三复数三角形式的除法运算问题5:复数的三角形式如何进行除法运算?其除法运算又有怎样的几何意义?【例3】计算下列各式:(2)9(cos