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高中数学函数的奇偶性(原卷版)
1．函数的奇偶性
(1)奇偶性的定义
奇偶性定义图象特点
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝
偶函数关于y轴对称
f(x)，那么函数f(x)是偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝
奇函数关于原点对称
－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
(2)函数奇偶性常用结论
结论1：如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有意义，那么f(0)＝0．
结论2：如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．
结论3：若函数y＝f(x＋b)是定义在R上的奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b，0)中心对称．
结论4：若函数y＝f(x＋a)是定义在R上的偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．
结论5：已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0．特别地，
若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)＋f(x)＝0．
maxmin
推论1：若函数f(x)是奇函数，且g(x)＝f(x)＋c，则必有g(－x)＋g(x)＝2c．
推论2：若函数f(x)是奇函数，且g(x)＝f(x)＋c，则必有g(x)＋g(x)＝2c．
maxmin
结论6：在公共定义域内有：奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇±偶＝非奇非偶；奇()奇＝偶，偶()偶
＝偶，奇()偶＝奇．
结论7：若函数f(x)的定义域关于原点对称，则函数f(x)能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.
11
记g(x)＝[f(x)＋f(－x)]，h(x)＝[f(x)－f(－x)]，则f(x)＝g(x)＋h(x)．
22
结论8：奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性；偶函数在其定义域内关
于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．
结论9：偶函数在其定义域内关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相
反数；奇函数在其定义域内关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．
结论10：复合函数y＝f[g(x)]的奇偶性：内偶则偶，两奇为奇．
结论11：指数型函数的奇偶性
－
xx
(1)函数f(x)＝a＋a(a0且a≠1)是偶函数；
－
xx
(2)函数f(x)＝a－a(a0且a≠1)是奇函数；
x
a＋1
(3)函数f(x)＝(a0且a≠1)是奇函数；
x
a－1
x－x2x
a－aa＋1
(4)函数f(x)＝－＝(a0且a≠1)是奇函数；
xx2x
a＋aa－1
结论12：对数型函数的奇偶性
m－xm＋x
(1)函数f(x)＝l
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