二项式定理及其应用(共29张PPT).pptx

二项式定理及其应用;回归课本

1.二项式定理

对于n∈N*，(a＋b)n＝Cn0an＋Cn1an－1b＋…＋Cnran－rbr＋…＋Cnn－1abn－1＋Cnnbn，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，二项展开式的通项公式为Tr＋1＝Cnran－rbr.

二项展开式中的Cnr(r＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数，要分清展开式中某一项的系数与该项的二项式系数．;(3)各二项式系数的和

(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnr＋…＋Cnn＝2n.

(4)二项展开式中，偶数项中的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即Cn1＋Cn3＋Cn5＋…＝Cn0＋Cn2＋Cn4＋…＝2n－1.;答案：C;解析：由通项公式可得展开式中含x4的项为T8＋1＝C88x4＝x4，故含x4项的系数为1，令x＝1，得展开式的系数和S＝1，故展开式中不含x4项的系数的和为1－1＝0.

答案：B;3．若对于任意的实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为()

A．3 B．6

C．9 D．12

解析：由于x3＝[2＋(x－2)]3，由题意得a2就是二项式[2＋(x－2)]3(把x－2看成一个整体应用二项式定理展开)的展开式中第3项的系数，因此a2＝C32·21＝6，选B.

答案：B;4．设(1＋x)8＝a0＋a1x＋…＋a8x8，则a0，a1，…，a8中奇数的个数为()

A．2 B．3

C．4 D．5

解析：∵(1＋x)8＝C80＋C81x1＋C82x2＋…＋C88x8

＝a0＋a1x＋…＋a8x8，

∴a0，a1，a2，…，a8，即为C80，C81，C83，…，C88.

∴奇数的个数为C80，C88共2个．

答案：A;答案：D;类型一求展开式的指定项

解题准备：利用展开式中Tr＋1可求如下问题：

(1)求指定项．(2)求特定项，如常数项，即字母的次数为0.(3)求指定项、特定项的系数．;[分析]利用通项公式．;[点评]要熟练掌握二项展开式及通项公式的应用．;(2)S＝C271＋C272＋…＋C2727＝227－1

＝C90×99－C91×98＋…＋C98×9－C99－1

∴被100除的余数为81，即9192除以100的余数为81.

∴a0，a1，a2，…，a8，即为C80，C81，C83，…，C88.

分析：因为求的是展开式的系数和，所以可用赋值法求解．

(3)各二项式系数的和

A．3 B．6

系数绝对值最大问题需要列不等式组求解．

C．4 D．5

[点评]在运用二项式定理时不能忽视展开式中???数的正负符号．当然还需考虑二项式系数与展开式某项的系数之间的差异：二项式系数只与二项式的指数和项数有关，与二项式无关；

解法二：∵9192＝(90＋1)92

(2)求S＝C271＋C272＋…＋C2727除以9的余数．

类型一求展开式的指定项

(2)S＝C271＋C272＋…＋C2727＝227－1

【典例3】(1)求证：1＋2＋22＋…＋25n－1能被31整除(n∈N*)；;[解析]根据二项式系数的性质，列方程求解n.系数绝对值最大问题需要列不等式组求解．

由题意知，22n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31)＝0，

∴2n＝32，解得n＝5.;[点评]在运用二项式定理时不能忽视展开式中系数的正负符号．当然还需考虑二项式系数与展开式某项的系数之间的差异：二项式系数只与二项式的指数和项数有关，与二项式无关；而项的系数不仅与二项式的指数和项数有关，还与二项式有关．值得注意的是，本例中是求“系数的绝对值最大的项”，若改为“系数最大的项”又该如何处理？因为第4项的系数为负值，所以系数最大项必是第3项或第5项中的某一项．比较这两项的系数C10228与C10426大小即可．;探究2：已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.

求：(1)a1＋a2＋…＋a7；

(2)a1＋a3＋a5＋a7；

(3)a0＋a2＋a4＋a6；

分析：因为求的是展开式的系数和，所以可用赋值法求解．;类型三整除与余数问题

解题准备：解决整除性问题实质上是构造二项式，即只需把待证式整理为按二项式定理展开后的各项被另一个式子整除即可．求余数时要注意剩余部分是负数时要进行转换．

【典例3】(1)求证：1＋2＋22＋…＋25n－1能被31整除(n∈N*)；

(2)求S＝C271＋C272＋…＋C2727除以9的余数．

[分析]将已知的式子适当整理化简，再根据题目的要求选择合适的解法．;C．9 D．12

[点评]在运用二项式定理时不能忽视展