函数的联系性连续函数的性质课件.pptVIP

§2连续函数的性质四、一致连续性三、反函数的连续性二、闭区间上连续函数的性质这些性质是具有分析修养的重要标志.部性质与整体性质.熟练地掌握和运用返回

一、连续函数的局部性质所谓连续函数局部性质就是指:连续(左连续或右连续),则可推知f在点x0的某号性、四则运算的保连续性等性质.个局部邻域(左邻域或右邻域)内具有有界性、保

故|f(x)|的一个明确的上界.证注意:我们在证明有界性时,而不是用术语定理4.2（局部有界性）则

定理4.3（局部保号性）则对任意一个满足证

此定理的证明可以直接从函数极限的四则运算得也是连续函数.我们知道,常函数与线性函数都是R上到,具体过程请读者自行给出.的连续函数,故由四则运算性质,易知多项式函数

同理,有理函数(分母不为零)同样是连续函数.下面这个定理刻划了连续这个性质在复合运算下定理4.5是不变的.

证于是

应用定理4.5,就得到所(*)式相应的结论仍旧是成立的.则有改为需要的结论.事实上,只要补充定义（或者重新定义）

上述(1)和(2)究竟有什么本质的区别呢?请读者作例1解合，所以出进一步的讨论.

均有使得对一切存在,,0DxDx??在本节中将研究f在二、闭区间上连续函数的性质定义1若点,

推论这是因为由定理4.6可知,值,从而有上界与下界,于是f(x)在[a,b]上是有虽然也是连续函数,但是内涵,在今后的学习中有很广泛的应用.界的.

这说明定义在开区间和闭区间上的连续函数的性定理4.7（介值性定理）上连续,则(至少)存在一点质有着根本的区别.

推论（根的存在性定理）应当注意,此推论与定理4.7是等价的.于是,只要则至少存在一点使下面用确界定理来证明上述推论,大家要注意学习证明了推论,也就完成了定理4.7证明.确界定理的使用方法.

(E为图中x轴上的红证不妨设并设零点.证明如下：的最大值就是函数的线部分)从几何上看,E

因为所以又E是有界的,故由确我们来否定下面两种情形:1.由f(x)在点是连续的,根据保号性,存在界定理,存在，显然

2.同样根据保号性,同时由x0=supE,对上述d,存在排除了上面两种情形后,就推得

由介值性定理与最大、最小值定理立刻得到如下下面再举一些应用介值性定理的例题.设在上连续,那么它的最大值M与最结论:小值m存在,并且

我们只需证明严格递增即可.事实上，即例4求证:再证唯一性:

证即

任意的实数r,f(x)=r至多有有限个解.证明：证与的解至多为有限个.例5设在区间内满足介值性,并且对于在内连续.

即2.如果解为空集,任意取

证不妨设f(x)严格增,那么就是反上连续,且与f(x)有相同的单调性.定理4.8若函数f(x)在上严格单调且连续,则反函数三、反函数的连续性函数的定义域.1.(证明见定理1.2).

请读者类似地证明该函数在端点的连续性.这就说明了上连续.对于任意的正数

且严格增.关于其它的反三角函数均可得到在定义域内连续的结论.例6因此它的反函数上也是连续严格增.例7连续且严在上亦为连续且格增,那么其反函数

在本节中，我们将介绍一致连续性这个及其重要只要就有四、一致连续性任意的正数,使得对任意,存在定义2.设为定义在区间I上的函数,如果对于则称在区间I上一致连续.的概念.

首先来看两个例题.例8证

证首先我们根据一致连续的定义来叙述f(x)在区例9但仍有确实不是一致连续的.总有间I上不一致连续的定义：

试问,函数在区间I上一致连续与在区间I上连续的区别究竟在哪里？

仅与有关.对于任意正数?,所得答:(1)首先,对于如果在区间I上连续，那么,不仅与?有关,而且还与所讨论的点而在区间I上一致连续.那么在例8中显然关.

过程中有一个正下界(当然(2)函数f(x)在每一点连续,下述定理是连续函数在闭区间上的又一整体性质.区间I上就一致连续了.这个下界只与?有关,而与x0无关),则此时f(x)在

上连续,则上一致连续.这个定理