全概率公式应用技巧探讨.docx

??

?

??

全概率公式应用技巧探讨

?

?

?

?

?

??

?

?

?

摘要:本文用实例讨论全概率公式如何应用于数学归纳法与递推关系式，来解决复杂概率问题的计算问题，最后讨论全概率公式如何应用于复杂数学期望的计算。

关键词:全概率公式；数学归纳法；递推关系式；数学期望。

中图分类号:O172文献标识码Ａ

全概率公式是概率论中一个非常重要的公式，蕴含了化整为零,化复杂为简单的数学思想，在概率的计算中发挥着非常重要的作用，应用非常广泛，但是在一些复杂概率计算中用好全概率公式可不是一件简单的事情。本文用实例讨论全概率公式如何与数学归纳法与递推关系式结合，来解决复杂概率问题的计算问题，最后讨论用全概率公式解决复杂数学期望的计算问题。

1.全概率公式

定理1[1]：设是一个概率空间,为的一个划分,且，对任何事件，有

上式称为全概率公式.

2.全概率公式用于归纳法

例1盒中放有球，其中个是红球，其余个是白球，从中不放回抽球．

证明(1)第次取出红球的概率为；

(2)第次取出红球第次取出白球的概率（）。

证明(1)对用数学归纳法，记为“第次取出红球”

时，

假设，则由全概率公式

其中等于新盒中放有个是红球，个白球，第次取出红球的无条件概率，由归纳假设同理，

故

所以，对任意，有。

注意这里全概率公式使用技巧，为计算，我们将第一次取球的两种情况作为一个划分使用全概率公式，并且对和使用归纳假设。如果将第次取球的两种情况作为一个划分使用全概率公式的话，和是没法计算的。对本题的第二问以及下一题，我们使用同样的技巧。

(2)对用数学归纳法，当时，

假设，则当时，由全概率公式

实际上是在第一次取出取出红球时第次取出红球第次取出白球的条件概率，相当于新盒中放有个红球，个白球，第次取出红球第次取出白球的无条件概率，由归纳假设，同理，故

。

由归纳法原理，对任意，。

注：本题还可以用古典概率计算，但是下一题就没有办法用古典概率计算了。

例2盒中放有球，其中个是红球，其余个是白球，随机取出一球，把原球放回，并加入与抽出球同色的球只。

证明(1)第次取出红球的概率为.

(2)求第次取出红球第次取出白球的概率.（）。

证明：(1)记为“盒中有个红球个白球时，第次取出红球”，

记为“盒中有个红球个白球时，第次取出红球第次取出白球”，

时，，假设，则由全概率公式

是在第一次取出红球的条件下，第次取出红球的条件概率，等价于盒中有个红球个白球时，第次取出红球的无条件概率，有归纳假设

，

同理，

故。

所以，对任意，有。

(2)对用数学归纳法，当时，利用(1)，，有

假设，则当时，由全概率公式

实际上是在第一次取出取出红球时第次取出红球第次取出白球的条件概率，相当于新盒中放有个红球，个白球，第次取出红球第次取出白球的无条件概率，由归纳假设，同理，故

从例1和例2可以看出，盒中红球数和白球数完全相同，抽取方法不同，但是第次取出红球（白球）的概率是完全一样的，这是很神奇的事情。两种情形下第次取出红球第次取出白球的概率都等于第次取出红球第次取出白球的概率，这也是很奇妙的地方。

3.全概率公式用于递推公式

例3甲盒中放有个红球个白球，乙盒中放有4个白球，每次从两个盒子各随机取出一球，互换放入另一个盒子中，求互换次后红球仍在甲盒中的概率。

解记为“第次互换后红球仍在甲盒中”，则

，，由全概率公式，当时

得到递推公式，，将代人得，于是得。

4.全概率公式用于数学期望

例4设为泊松过程，具有参数，为独立同分布的随机变量序列，与独立，数学期望存在。求

解由条件数学期望的性质及全概率公式知

。

参考文献:

［1］中山大学邓集贤等.概率论及数理统计(上)［M］．北京:高等教育出版社，2009.

［2］李贤平．概率论基础：［Ｍ］．3版．北京：高等教育出版社，2010．

［3］李兆兴,赵国传.全概率公式及其应用技巧［J］．高等数学研究，2011，14(2):52－55.

?

-全文完-