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一种含有磁控忆阻器的四阶混沌电路的特征分析

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耿运博邹剑飞

摘?要：该文提出了一种简单的磁控忆阻器模型，并利用它设计了一个混沌电路。通过数值模拟计算得到了一个三维带状混沌吸引子，且此时忆阻器的伏安特性曲线不是传统的“8”字形。通过计算系统的相图、分岔图和Lyapunov指数谱，发现调节电容参数或忆阻器初始状态可以实现电路系统在混沌态和各周期态之间的转变，发现调节磁通能使系统出现二周期到四周期再回到二周期的奇特分岔现象。该研究工作对利用忆阻器设计混沌电路并应用于密码通信具有积极的参考价值。

关键词：忆阻器?混沌电路?Lyapunov指数

：TN701?：A：1672-3791（2020）06（b）-0027-04

电阻器、电容器和电感器是电路中最基本的两端无源电子元件。1971年，美籍华裔科学家LeonChua（蔡少棠）教授根据电路理论的完备性在理论上预言了第四种无源电子元件——忆阻器[1]。忆阻器的特征物理量忆阻定义为穿过元件的磁通与电荷量之比。这里的磁通不一定需要是外加磁场产生的，根据法拉第电磁感应定律，它可以是元件两端电压对时间的积分。而流经忆阻器的电荷量是电流对时间的积分。因此，忆阻一般来说是时间的函数，它的量纲与电阻相同。因此可以说，忆阻器是具有记忆功能的电阻器。根据这一特点，人们期望发明具有实用价值的忆阻器，用于存储信息。这样它可以在电路断电的情况下，记住当前信息。因此忆阻器具有诱人的应用前景。

然而直到2008年，惠普（HP）实验室的Strukov及其合作者才在实验上第一次用TiO2纳米结构制备出了真实的忆阻器元器件[2]。在此之后忆阻器的实验和理论研究得到了蓬勃的发展。实验上陆续报道了更多种类忆阻器的物理实现[3，4]。Ventra和Biolek等研究人员把忆阻器的理论拓展到了其他记忆元件，如忆容器和忆感器[5，6]。此外，国内外涌现出大量各种基于忆阻器而设计的混沌电路的研究工作[7-12]。由于忆阻器的非线性特性，若把它用在电路中就很容易产生各种复杂而有趣的混沌信号。Itoh和Chua利用忆阻器代替蔡氏二极管设计了多种非线性振荡器[7]。许碧荣用一个忆阻器、一个电感和一个电容构建了一种特别简单的并联混沌电路[8]。袁方等人用HP忆阻器模型设计了一个四阶的混沌电路，并用等效电路实现了理论的计算结果[9]。王伟等人用3个忆阻器构造了一个六阶混沌电路，得到了复杂的双混沌吸引子[10]。利用忆阻器设计的混沌电路在神经网络计算、必威体育官网网址通信方面具有潜在的应用价值。

该文设计了一种含有磁控忆阻器的四阶非线性电路。通过对电路满足的微分方程的分析和数值计算，得到了丰富的相图、分岔图和其他混沌的动力学特征，发现了非传统的伏安特性曲线和奇特分岔现象。我们的研究对于利用忆阻器设计、产生和控制混沌电路系统具有积极的参考价值。

1?忆阻器模型和混沌电路

忆阻器可以分为磁控型和荷控型两种。该文设计的忆阻器模型为磁控型，它的忆阻定义为：M=dφ/dq，其中φ和q分别表示通过忆阻器的磁通和电荷量。忆阻的倒数定义为忆导G=1/M。我们设计的忆阻器的忆导为：

其中，参数k1和k2为大于零的参数，它们依赖于忆阻器材料本身。可以看到忆导随磁通大小是单调递减的关系。磁通为零时，忆导最大（Gmax=k1+k2），忆阻最小。磁通很大时，忆导趋于最小值（Gmin=k1），忆阻达到最大值。不同于前人设计的忆导与磁通的n次方或开方关系[8，9]，该文中的忆导、忆阻和磁通的这种非线性关系简单，没有奇点，不发散，实验上易于实现。

根据欧姆定律，忆阻器的电流-电压关系可以表示为im=Gmv。再根据法拉第电磁感应定律，可得电压和磁通的关系：v=dφ/dq。若在忆阻器两端施加交流电压v=vmsin（2πft），取参数vm=5V，k1=0.1kΩ-1，k1=9.9kΩ-1，画出伏安特性曲线（如图1（a））。从中可以看到明显的“8”字形回滞曲线，这正是实现混沌电路所需要的特征性质。

我们设计的含有忆阻器的电路（如图1（b））。根据基尔霍夫定律和电磁感应定律，可以写出非线性電路满足的微分方程组如下：

其中，v1和v2分别为电容器1和2上的电压;i为电感线圈上的电流，它们的正方向如图1（b）中所示。φ为忆阻器上的磁通。参数C1，C2，L，R1和R2分别为对应元件的电容、电感和电阻值。四分量变量X=（v1，v2，i，φ）构建了一个四阶的非线性电路。要让电路产生周期或混沌信号，需要有源元件。我们假设电阻R1或R2是负的，根据蔡氏电路理论，负电阻可以利用等效电路来设计实现。

令α=1/C1，β=1/C2，γ=1/L，C2=1/R2，方程组（2）（3）（4）（5）可简化为更简洁的形式。以后的计算中，我们取无量纲的参数，这为理论分析和数值计算提供方便。取