同济大学高等数学(第七版)上册第一章函数.ppt

教材:;数学;何谓数学素养〔数学素质〕？;微积分的创立背景;x;3、变速运动物体的瞬时速度;4、炮弹的最大射程;5、光滑曲线的切线和法线;什么是高等数学?;1.分析根底:函数,极限,连续;如何学好微积分?;第一章;第一节函数;1.区间:;称为半开区间,;2.邻域:;3.常量与变量:;4.绝对值:;二、函数;练习：求以下函数的定义域;函数定义可简单地归结为构成函数的两个要素：

定义域Df：自变量的变化范围。

对应法那么f：自变量与因变量的对应规那么。

函数的值域可由其定义域和对应规那么确定，即

Rf={y?y=f(x)，x?Df}=f(Df).

结论：函数的两个要素实际也给出了判别两函数是否相同的方法，即假设两函数的定义域相同，对应法那么也相同，这两函数就是相同的，否那么就是不同的。;例如：y=f(x)=sinx，x?R=(-?,+?)；

y=f(x)=sinx，x?D=(-?,?)

表示不同的函数，因为它们的定义域不同。

y=f(x)=lgx2，x?D=(-?,0)∪(0,+?)；

y=g(x)=2lgx，x?E=(0,+?)；

表示不同的函数，因为它们的定义域不同。

y=f(x)=sinx，x?R=(-?,+?)；

y=f(t)=sint，t?R=(-?,+?)；

u=f(t)=sint，t?R=(-?,+?)；

均表示同一个函数，因为它们的定义域

和对应法那么都相同。;;如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否那么叫与多值函数．;在自变量的不同变化范围中,;(1)绝对值函数;(2)符号函数;(3)取整函数y=[x]

[x]表示不超过的最大整数;有理数点;例;(5)取最值函数;例.函数;例：某市的出租车按如下规定收费：当行驶里程不超过3km时，一律收起步费10元；当行驶里程超过3km时,除起步费外，对超过3km但不超过10km的局部，按每千米2元计费，对超过10km的局部按每千米3元计费,试写出车费C与行驶里程s之间的函数关系。

;以C=C(s)表示这个函数，其中s的单位是km，C

的单位是元。按问题的规定：

当0s?3时，C=10；

当3s?10时，C=10+2(s–3)=2s+4；

当s3时，C=10+2(10–3)+3(s–10)=3s–6.

上述车费C与行驶里程s间的函数关系可写为：;函数的几种根本特性;注：

〔1〕一个函数在某个区间上有界，正数M

的取法不是唯一的；

〔2〕有界性是函数的局部性质，与选定

的区间有关。;2．函数的奇偶性:;奇函数的图形关于原点对称，如：y=kx;奇、偶函数经四那么运算后仍可在一定条件下保持相应的奇、偶性。

例如：奇＋奇=奇，偶＋偶=偶；

奇×奇=偶，偶×偶=偶。;3．函数的单调性:;x;4．函数的周期性:;注:周期函数不一定存在最小正周期.;

反函数的定义域和值域恰为原函数的值域和定义域

;;那么所求反函数为;定理1在定义域上单调增加〔减少〕的函数存在反函数，并且此反函数也是单调增加〔减少〕的。

注：即使在整个定义域上不单调的函数，也可以截取一个单调区间来定义它的反函数。;反三角函数;x?[-1,1],

y?[0,?].;x?(-?,+?),y?(-?/2,?/2).;x?(-?,+?),y?(0,?).;思考：求以下函数的定义域;五、复合函数初等函数;2.指数函数;3.对数函数;4.三角函数;余弦函数;正切函数;正割函数;余割函数;5.复合函数;注意:;设函数;作业

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